三角函数的恒等变形.DOC

三角函数的恒等变形 一．知识要点：本节的主要内容为利用各种三角公式对三角函数进行恒等变形。 1．明确化简要求：项数尽量少，次数尽量低，函数种类尽量少，可求值的必须求出数值。 2．变形的一般思路：化归思想和转化思想，化未知为已知。 3．变形的主要技巧：1.平方法；2.拆角法；3.升幂降幂法；4.切割化弦法。 4．升幂降幂主要由倍角公式和半角公式来完成。 二．典型例题： 例1：化简：1.sin(x+60()+2sin(x–60()–cos(120(–x)= .( 0 ) 解：原式直接展开（化归思想） 2．2cos(20(+x)cos(25(–x)–cos(70(–x)sin(25(–x)=(/2) 要点：拆角技巧和逆用公式（逆向思维）。 3． (sin2() 要点：1.切割化弦；2.统一就是一种化归思想。 4． (sin3(+4cos2(+3sin(–4)/(cos3(–4sin2(+5cos() . (tg() 要点：化归思想，化为单角( ，拆角技巧.. 5．sin2x+sin2(x–π/3)+sin2(x+π/3) (3/2) 要点：降次技巧. 例2:(,(,γ 均为锐角，且sin(+sinγ=sin(,cos(+cosγ=cos(,则(+γ= (2π/3) 要点：平方技巧，消参思想（目标意识）。 例3：已知：sin(=Asin((+()(|A|1),求证：tg((+()=sin(/(cos(–A). 思路1：由于右边仅含(,故考虑由已知条件求出tg(，而结果为正切形式，故应从已知变出正切形式。 思路2：结果含有tg((+(), 右边不含(,故从已知(变为sin((+(–()计算，甚为简洁。 运用了拆角技巧，观察参数的隐消是很重要的思路。 例4：求证：2sin4x+sin22x+5cos4x–cos3xcosx=2(1+cos2x) (找两位学生演板） 三．小结：通过本节的学习，要掌握： 1．化简的要求：项数尽量少，次数尽量低，函数种类尽量少，可求值的必须求出数值。 2．变形的一般思路：化归思想和转化思想，化未知为已知，对多变量的问题要注意消参。 3．变形的主要技巧：1.平方法；2.拆角法；3.升幂降幂法；4.切割化弦法。 三角函数的求值问题 一．要点：求值中应注意的两个问题 1．灵活运用角的变形和公式的变形； 2．重视角的范围对三角函数值所取的作用，特别是符号。 二．典型例习题： 1．(sin7(+cos15(sin8()/(cos7(–sin15(sin8()= ;(2–) 2．已知(,(((0,π),tg((/2)=1/2,sin((+()=5/13,求cos(. (–16/65) 3．cos(=3/5,0(π,sin((–γ)= –12/13,0(π/2,0γπ/2,求sin((+(–γ)+cos((–(+γ)的值 (–49/65) 小结：1.拆角技巧；2. 注意对角的范围的讨论. 4．已知cos(π/4+x)=3/5,(1)求sin2x的值；(2)又若17π/12x7π/4,求(sin2x+sin2xtgx)/(1–tgx) 解：(1)sin2x=7/25; (2)sin(x+π/4)= –4/5,tg(x+π/4)= –4/3, 原式=sin2x× (1+tgx)/(1–tgx)=sin2xtg(x+π/4)= –28/75，或由万能公式解出tgx=7代入即得. 5．设0(π,sin(+cos(= 1/2,则cos2(的值为 ( –/4) 6．已知1/cos(–1/sin(=1,求sin2( . 解：由已知得sin(–cos(=sin(cos( ,平方解得：sin2(= –2+2. 7．已知sin(+sin(=sin(sin(, =1/3,求sin. 6、7小结：转化思想和方程思想. 8．求tg20( +tg40(+tg20(tg40( 的值 () 9．sin220(+cos250(+sin20(cos50(. (3/4) 10．设(,( 均为锐角，试寻求(1–tg()(1+tg()=2成立的充要条件，并化简(1+tg1()(1+tg2()…… (1+tg44()(1+tg45(). 11．sin(–sin(= –1/3, cos(–cos(= 1/2,求sin((+() (12/13) 8、9、10、11小结：灵活运用公式变形. 12．已知(,( 均为锐角，cos(=4/5, tg((–()= –1, 求coscos 答： 13．(2sin20(+cos10(+tg20(sin10()/(csc40(+csc80() 解：原式= =