2014届高考数学一轮复习第9章《抛物线》名师首选学案新人教A版346.docVIP

学案51　抛物线 导学目标： 1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想． 自主梳理 1．抛物线的概念 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px(p0)[ y2＝－2px(p0) x2＝2py(p0) x2＝－2py(p0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F(，0) F(－，0) F(0，) F(0，－) 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0， yR x≤0， yR y≥0， xR y≤0， xR 开口 方向 向右 向左 向上 向下 自我检测 1．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是________． 2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为________． 3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是________． 4．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________. 5．已知抛物线方程为y2＝2px (p0)，过该抛物线焦点F且不与x轴垂直的直线AB交抛物线于A、B两点，过点A、点B分别作AM、BN垂直于抛物线的准线，分别交准线于M、N两点，那么MFN＝________. 探究点一　抛物线的定义及应用 例1　已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求PA＋PF的最小值，并求出取最小值时P点的坐标． 变式迁移1　已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为________． 探究点二　求抛物线的标准方程 例2　已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程． 变式迁移2　根据下列条件求抛物线的标准方程： (1)抛物线的焦点F是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点； (2)过点P(2，－4)． 探究点三　抛物线的几何性质 例3　过抛物线y2＝2px的焦点F的直线和抛物线相交于A，B两点，如图所示． (1)若A，B的纵坐标分别为y1，y2，求证：y1y2＝－p2； (2)若直线AO与抛物线的准线相交于点C，求证：BCx轴． 变式迁移3　已知AB是抛物线y2＝2px (p0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)．求证： (1)x1x2＝； (2)＋为定值． 分类讨论思想 例　(14分)过抛物线y2＝2px (p0)焦点F的直线交抛物线于A、B两点，过B点作其准线的垂线，垂足为D，设O为坐标原点，问：是否存在实数λ，使＝λ？ 多角度审题　这是一道探索存在性问题，应先假设存在，设出A、B两点坐标，从而得到D点坐标，再设出直线AB的方程，利用方程组和向量条件求出λ. 【答题模板】 解　假设存在实数λ，使＝λ. 抛物线方程为y2＝2px (p0)， 则F，准线l：x＝－，[2分] (1)当直线AB的斜率不存在， 即ABx轴时， 交点A、B坐标不妨设为：A，B. BD⊥l，D， ＝，＝， 存在λ＝1使＝λ.[6分] (2)当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为y＝k (k≠0)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D，x1＝，x2＝， 由　得ky2－2py－kp2＝0，y1y2＝－p2，y2＝，[8分] ＝(－x1，－y1)＝，＝＝， 假设存在实数λ，使＝λ，则，解得λ＝，存在实数λ＝，使＝λ. 综上所述，存在实数λ，使＝λ.[14分] 【突破思维障碍】 由抛物线方程得其焦点坐标和准线方程，按斜率存在和不存在讨论，由直线方程和抛物线方程组成方程组，研究A、D两点坐标关系，求出和的坐标，判断λ是否存在． 【易错点剖析】 解答本题易漏掉讨论直线AB的斜率不存在的情况，出现错误的原因是对直线的点斜式方程认识不足． 1．关于抛物线的定义 要注意点F不在定直线l上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线． 2．关于抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的联系与区别在于： (1)p的几何意义：参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正数． (2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向． 3．关于抛物线的几何性质 抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握，但由于抛物线的离心率等于1，所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质，而