中学数学中的恒等式证明问题.doc

中学数学中的恒等式证明问题 摘要：本文是以中学数学中典型的证明恒等式例题做分析，总结证明恒等式常用的方法及技巧。关于恒等式的证明本文主要讲了由繁到简的数学思想，公式定理法，比较法，数学归纳法。 关键字：恒等；公式定理；数学归纳 Proof Methods and Skills on Identity Abstract:This paper is typical in the middle school mathematics proof of identity,summarizes the sample do annlysis commonly used methods and proof of this article mainly about identity by numerous to Jane told the mathematical thought method,the comparison theorem,formular,mathematical induction. Key words:identical;formular theorem;mathematical induction. 引 言 恒等式在数学及其应用中占有不可忽视的地位，恒等式的证明有一定的难度和特殊的技巧，而且灵活性很强。学生要掌握这部分知识，不但要熟练掌握相关的基础知识，基本概念和基本技能外，而且要有敏锐的观察和分析的能力，以及培养多元化的解题思想。下文以例题的方式来总结恒等式证明的常用方法与技巧。 一、由繁到简 恒等式的证明分一般恒等式证明和条件恒等式证明。对于一般的恒等式证明的思路是从等式的左边推到右边或两边经过整理后都等于第三个式子，从而证明结论；对于带条件的恒等式证明则要充分利用已知条件，整理化简成一般恒等式的证明。 例1、证明： 分析 分别对等式两端进行化简整理，然后比较证明恒等。 证:左边 右边 所以 左边=右边 说明 本例的证明过程就是恒等式证明中最基本的方法和思路之一。 例2、已知，证明： 分析 先对左边式子展开整理，然后利用已知条件化简整理得右边式子。 证：因为，所以 左边 右边 左边=右边，命题得证。 说明 本例的证明体现了由简到繁的数学思想，且有条件的恒等式证明最终也要归结为一般的恒等式的证明，学生应该懂得总结。 二、利用公式定理证明 例3、证明恒等式 分析:观察式子左边发现左边具有的形式，右边是两个多项式的乘积，因此可利用公式进行化简证明。 证明： = 说明：利用已知公式证明恒等式是恒等变形中的一种重要方法，有助于提高证明的速度，且思维灵活。 例4、求证： . 分析：两式左边各项都含有形式的项，为此我们想到了二项式定理，利用此定理对左边整理化简，然后对取适当的值代入式左边，看两边是否相等。 证：设 令，代入得 即 令，代入得 即 说明：本题若用从左往右的方法来证明不可取，恒等变形极为复杂且变换过程中容易出错证明就很困难。为此，证明前观察式子的特点，利用已知定理证明就显得简单易做且证明时思路清晰，但在对取值时也要有一定的技巧，同学们在解题过程中要于总结和归纳。 三、利用比较法证明恒等式 比较法是恒等式证明应用中的另一重要方法和思路，也是较普遍采用的，比较法主要指比差法或比商法。 例5、求证： 分析：证明思路是两边做差证明左-右=0.然后通过通分对分子进行整理化简得出证明。 证：左-右 技巧：观察这道例题式子各项的特点，我们发现跟轮换式一样，为此使用轮换式的特点进行证明会不会简单一点呢？首先， 同理可得： 所以 说明：本例的证明充分利用了比较法证明的方法，但在具体的证明过程中也有一定的不足，细心的同学会发现如果遇到运算量较大胡通分化简将很繁琐，而且容易出错，因此我们通过观察式子发现式子的每一项其实就是我们熟悉的轮换式，然后利用轮换式的特性证明这类例题，运算也就相当简便了，节约时间。同学在学习中要培养细心的分析以及敏锐的观察能力. 比商法的证明方法和思路和比差法类似，这里就不在举例证明。 四、利用数学归纳法证明恒等式 恒等式的证明有很强的逻辑性，灵活性以及严谨，数学归纳法同样也是如此且利用此方法证明恒等式也经常被使用。数学归纳法证明恒等式时一定要注意解题的步骤，第一步，先假设当时，等式成立；第二步，假设当时，等式成立，然后证明当时，等式也成立，综合一二两步得到恒等证明。 例6、已知是任意等差数列，，求证： 分析：本题恒等式左边各项组合数是一个不确定的等差数列，若是用上面的方法证明就比较困难，由于式子中含有数列，我们此时就想到了数学归纳法，可利用此法证明。 证： 当时，因为，所以，等式成立. 假设当时等式成立，有已知对任意等差数列，有 则当时，利用组合数性质得 =