组合数学复习题 的.doc

1-23.(a)在2n个球中，有n个相同。求从这2n个球中选取n个的方案数。 (b)在3n+1个球中，有n个相同。求从这3n+1个球中选取n个的方案数。 [解].(a)相当于从n个不同的小球中取出m个小球(0?m?n),再从n个相同的小球中取出n-m个小球，m=0,1,2,?,n的方案数。 根据加法原理，这个方案数应该是：C(n,0)+ C(n,1)+?+ C(n,n)=2n。 同理，考虑3n个不同的球放入n个不同的合子里，每合3个的方案数。这个方案数应该是整数。 (b)相当于从2n+1个不同的小球中取出m个小球(0?m?n),再从n个相同的小球中取出n-m个小球，m=0,1,2,?,n的方案数。 根据加法原理，这个方案数应该是：C(2n+1,0)+ C(2n+1,1)+?+ C(2n+1,n)。 1-24.证明在由字母表{0,1,2}生成的长度为n的字符串中 (a)0出现偶数次的字符串有个； (b),其中 [证].(a)方法一：采用（串值）数学归纳法 ［基始］当n=1时，0出现偶数次，长度为1的字符串有=2个（即1和2两个长度为1的字符串）。所证结论成立； ［归纳假设］当n=m(1?m?k)时，假设所证结论成立。即，0出现偶数次，长度为m的字符串有个； ［归纳］当n=k+1时，0出现偶数次，长度为k+1的字符串包括两部分： (1)给0出现偶数次，长度为k的字符串后面再增加一位不是0的数（只能是1或2），因此，按乘法原理，由归纳假设，此种字符串有?2=3k+1个； (2)给0出现奇数次，长度为k的字符串后面再增加一位是0的数，因此，按乘法原理，由归纳假设，此种字符串有?1=个； 所以，按加法原理，0出现偶数次，长度为k+1的字符串共有 (3k+1)+= 个。所证结论成立； 归纳完毕。 方法二：采用指数型母函数方法 设：an—0出现偶数次，长度为n的字符串的个数，则{an}的指数型母函数 所以，（规定a0=1）。 (b)利用组合意义法来证 考虑0出现偶数次，长度为n的字符串的个数。根据上面(a)，已证其个数为； 另一方面，相当于先从n个位置中选取2m(0?2m?n)个（有种选择）放置上数0,再在剩下的n-2m个位置上放置数1或2（有2n-2m种放法），按乘法原理，是个，m=0,1,2,?,q ()的方案数。 按加法原理，此方案数为。因此，我们有 。 1-26.在由n个0及n个1构成的字符串中，任意前k个字符中，0的个数不少于1的个数的字符串有多少？ [解].转化为格路问题（弱领先条件—参见P36例4该例是强领先条件）。即从(0,0)到(n,n)，只能从对角线上方走，但可以碰到对角线。它可看作是从(0,1)到(n,n+1)的强领先条件（只能从对角线上方走，但不可以碰到对角线）的格路问题。更进一步的，它可看作是从(0,0)到(n,n+1)的强领先条件的格路问题(因为此种格路第一步必到(0,1)格点)。故这样的字符串有 -=C(2n,n)-C(2n,n-1)个。 1-27.在1到n的自然数中选取不同且互不相邻的k个数，有多少种选取方案？ [解].设：g(n,k)为从1~n中选取不同且互不相邻的k个数的方案数。 于是，按这k个数中有无数n而分为两种情况：(1)若选n，则必不能选n-1，故此种方案数为g(n-2,k-1)；(2)若不选n，则可以选n-1，故此种方案数为g(n-1,k)；所以，按加法原理，总的方案数g(n,k)=g(n-2,k-1)+g(n-1,k)。 且只有当n?2k-1时，g(n,k)?0；否则g(n,k)=0。因此，可给定初始值： g(2k-1,k)=1，g(2k-2,k)=0。 2-18.在一圆周上取n个点，每一对顶点可做一弦。不存在三弦共点的现象，求弦把圆分割成几部分？ [解].(参见 P98例6) 设an为过n个点的每两点作一条弦，且不存在三弦共点的现象，弦把圆分割成部分的个数。其中过n-1个点所作弦把圆分割成的部分为an-1，第n个点可以引出n-1条弦，第一条弦增加一个部分，第二条弦增加1?(n-3)+1个部分，第三条弦增加2?(n-4)+1个部分，……，第k条弦增加(k-1)?(n-k-1)+1个部分，……，第n-1条弦增加(n-1-1)?(n-(n-1)-1)+1=1个部分。 故 = = = = 且 ，，，， 从而有 　　 于是 　　 同理可得 故有 同理可得 故有 同理可得 故有 同理可得 故有 对应的特征方程为 即 r=1是5重根 所以 n=2时，a2=A=2 n=3时，a3=A+B=4，B=2 n=4时，a4=A+2B+C=8，C=2 n=5时，a5=A