黄金分割3 的.doc

1．（2015?杭州模拟）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CE平分∠ACB交AB于点E， （1）试说明点E为线段AB的黄金分割点； （2）若AB=4，求BC的长． 考点： 黄金分割． 分析： （1）根据等腰三角形两底角相等求出∠ACB=72°，再根据角平分线的定义求出∠BCE=36°，从而得到∠BCE=∠A，然后判定△ABC和△CBE相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式整理，并根据黄金分割点的定义即可得证； （2）根据等角对等边的性质可得AE=CE=BC，再根据黄金分割求解即可． 解答： （1）证明：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ACB=（180°﹣36°）=72°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠BCE=∠ACB=×72°=36°， ∴∠BCE=∠A=36°， ∴AE=BC， 又∵∠B=∠B， ∴△ABC∽△CBE， ∴=， ∴BC2=AB?BE， 即AE2=AB?BE， ∴E为线段AB的黄金分割点； （2）∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠B=∠ACB=72°， ∴∠BEC=180°﹣72°﹣36°=72°， ∴BC=CE， 由（1）已证AE=CE， ∴AE=CE=BC， ∴BC=?AB=×4=2﹣2． 点评： 本题考查了黄金分割点的定义，相似三角形的判定与性质，理解黄金分割点的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比是解题的关键． 　 2．（2015?杭州模拟）数学中，把长与宽之比为（或宽与长之比为）的矩形称为黄金矩形．思考解决下列问题： （1）已知图1中黄金矩形ABGF的长AF=1，求AB的长； （2）黄金矩形有个奇妙的特性：把图1中的黄金矩形ABGF，以AB为边向矩形内作正方形ABCD，则矩形DCGF是否为黄金矩形，是请予以证明，不是请说明理由． （3）黄金矩形使名画《蒙娜丽莎》显得特别和谐，专家分析画中布局如图2，期中最外面的矩形是黄金矩形，以黄金矩形的宽为边向矩形内部做正方形，由上小题知产生的小矩形为更小的黄金矩形，按此规律依次生成各黄金矩形，若图3中最大黄金矩形的长为a，则最小黄金矩形的长是多少？ 考点： 黄金分割． 分析： （1）由黄金矩形的定义可得：=，将AF=1代入，计算即可求出AB的长； （2）利用AB=DC=AD和=，通过等量代换，求得=，得到矩形DCGF是黄金矩形； （3）由=，可得AB=AF，即CD=FG=AF，即以黄金矩形的宽为边向矩形内部做正方形，产生的小矩形的长为原来矩形长的，由图可知，一共作正方形6次，所以最小黄金矩形的长是（）6a． 解答： 解：（1）由题意可得：=， 又∵AF=1， ∴AB=； （2）留下的矩形DCGF是黄金矩形．理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=DC=AD， 又∵=， ∴=， 即点D是线段AF的黄金分割点，=， ∴=， ∴矩形DCGF是黄金矩形； （3）若图3中最大黄金矩形的长为a，由题意，可得最小黄金矩形的长是（）6a． 点评： 本题考查了黄金分割：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 　 3．（2014?杨浦区校级自主招生）如图，在△ABC中，AC=BC=1，∠C=36°，求面积S△ABC． 考点： 黄金分割． 分析： 先由△ABC是顶角为36°的等腰三角形，得出AB：AC=，则AB=，再作出底边上的高CD，根据等腰三角形三线合一的性质求出AD=AB=，根据勾股定理求出CD，然后利用三角形的面积公式即可求解． 解答： 解：∵在△ABC中，AC=BC=1，∠C=36°， ∴AB：AC=， ∴AB=． 作等腰△ABC底边上的高CD，则AD=AB=， 在△ACD中，根据勾股定理得 CD==， ∴S△ABC=AB?CD=××=． 点评： 本题考查了黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．同时考查了等腰三角形的性质与勾股定理． 　 4．（2014秋?建瓯市校级月考）定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）求证：点D是线段AC的黄金分割点； （2）求出线段AD的长． 考点： 黄金分割． 专题： 证明题． 分析： （1）利用等