几种均匀物体的重心讨论.PDF

几种均匀物体的重心讨论 祝洋（2900102008 ） 【摘 要】本文对三角形的物理重心是其几何重心进行了验证，并对圆锥体和 圆台的重心位置进行讨论，最后将结论推广到圆台衍生体的重心位置. 【关键词】 均匀物体；重心；积分；圆台衍生体 我们知道: 三角形的几何中心是其中线的交点. 那么,均匀的三角形的物理重心是否就 是它的几何中心呢？对于三角形沿其一条边的高为轴线旋转得到的圆锥体的重心在什么地 方，圆台的重心又在哪里？本文就上述问题进行论述. 1 三角形的物理重心是其几何重心 引理：对于任意均匀的平面几何体，用通过其重心的任一直线将其分为两个部分，则 两个部分对重心在其切割直线的垂线方向的力矩相等. 即：错误！未找到引用源。 （见图1） 以上公式也被表示为在重心处支持物体的平衡条件. 图1 图2 用以上的公式，我们可以找出三角形的物理重心，方法如下： 如图2 ，沿三角形一边的高的方向设为x 轴，高所对应的底边方向为y 轴，建立直角坐 标系，其中底边长为s ，高为h. 设物理重心G 在x 轴方向的坐标为x0 ，而在横坐标为x 处的三角形两边在y 轴方向的 竖直距离为y (x) ，则有： 由相似三角形的比例关系，有： 联立以上公式，分离出常数并合并同类项，得： 即：对于三角形任意一边按照如上建系后，其物理重心的横坐标位置为其对应高的三分 之一.以下便证明其物理重心就是几何重心. 证明如下： 如图3，O、P 为AC 、BC 的三等分点，由之前的结论可知，物理重心G 在OP 上. 同 理，对于其他的三等分点Q、R 、S 、T，G 同时也在QR，ST 上. 连结RT ，由三等分点的性质可知，RT=SQ. 则ST、QR 的交点是这两条线的中点，故该交点同时也在 OP 上. 令 OP、QR、ST 交点为G ，连结CG 并延长交AB 于D ，由于 0 0 OG RT 和G RTP 为平行四边形，则OG =G P ，故有AD=DB . 0 0 0 0 则CD 为三角形ABC 的中线且DG =DC/3 ，故G 为三角形 0 0 的几何中心. 由于G0 是OP、QR、ST 交点且G 在OP、QR、 ST 上，故G 和G 重合，于是三角形的物理重心是它的几何 0 重心得证. 图3 2 均匀圆锥体的重心 有人认为均匀圆锥体的重心在其高离顶点的错误！未找到引用源。处.其求法如下： 由圆柱体的对称性可知，其重心在其高上。如图4.1 ，设圆柱体的重心在离顶点的h0 处. 由于上半部分的圆锥体与整个圆锥体相似，要使上面的质量M =M/2 ，即V = V/2 ，根据相似 0 0 体体积与变长三次方成正比，故有： 但是，这个做法的本身是存在问题的.上下两个部分虽然质量相等，但是他们自身的重 心到G 的距离并不相同，所以用以上述方法求出的重心位置并非圆锥体的重心位置. 正确的 做法如下： 图4.1 图4.2 如图4.2 ，以圆锥体的底面中心为坐标原点，高为x 轴，建立直角坐标系. 由圆锥体的 对称性可知，其重心在高上.设重心G 在x 轴方向的坐标为x0 ，对任意x ’ ∈[0，h ），平面x=x ’ 截圆锥体所得的截面恒为圆. 在这个圆上的任意一点沿x 方向对G 点的力臂都相等且大小为 |x ’x0|.设在x 处截面圆的面积为S(x), 则由引