厦门大学“景润杯”数学竞赛大纲(非数学专业组).PDF

廈門大學“景潤杯”數學競賽大綱(非數學專業組) 參賽對象為大學在校非數學專業大學生,競賽內容為大學《微積分》的基本 內容 ，具體如下： 一、函數、極限、連續 1． 函數的概念與函數的性質（有界性、單調性、週期性和奇偶性）. 2． 複合函數、反函數、分段函數和隱函數、基本初等函數的性質及其圖形、 初等函數. 3． 數列極限與函數極限的定義及其性質、函數的左極限與右極限. 4． 無窮小和無窮大的概念及其關係、無窮小的性質及無窮小的比較. 5 ．極限的四則運算、極限存在的單調有界準則和夾逼 (squeeze)準則、兩個 sin x 1 x 重要極限 lim 1, lim(1 ) e . x x x 0 x  6． 函數的連續性（含左連續與右連續）、函數間斷點的類型. 7． 連續函數的性質和初等函數的連續性. 8． 閉區間上連續函數的性質 (有界性、最大值和最小值定理、中間值定理). 二、一元函數微分學 1. 導數和微分的概念、導數的幾何意義和物理意義、函數的可導性與連續性 之間的關係、平面曲線的切線和法線. 2. 基本初等函數的導數、導數和微分的四則運算、一階微分形式的不變性. 3. 複合函數、反函數、隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法. 4. 高階導數的概念、分段函數的二階導數、某些簡單函數的 n 階導數. 1. 微分中值定理 (Mean-value Theorem) ，包括羅爾(Rolle)定理、拉格朗日 (Lagrange) 中值定理、柯西(Cauchy)均值定理和泰勒(Taylor)定理. 6. 洛必達 (LHopital) 法則與求未定式極限. 7. 函數的極值、函數單調性、函數圖形的凹凸性、拐點(反曲點)及漸近線(平、 鉛直和斜漸近線) 、函數圖形的描繪. 8. 函數最大值和最小值及其簡單應用. 9. 弧微分、曲率、曲率半徑. 三、一元函數積分學 1. 原函數 (反導函數)和不定積分的概念. 2. 不定積分的性質與基本積分公式. 3. 定積分的概念和基本性質、定積分中值定理、變上限定積分確定的函數 及其導數、牛頓-萊布尼茨 (Newton-Leibniz) 公式. 4. 不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法. 5. 有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分. 6. 廣義積分. 7. 定積分的應用：平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側 面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力及函數的平均值． 四.常微分方程 1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解 、階、通解、初始條件和特解 等. 2. 變數可分離的微分方程、齊次微分方程、一階線性微分方程、伯努利 (Bernoulli) 方程、全微分方程. 3. 可用簡單的變數代換求解的某些微分方程、可降階的高階微分方程： (n)  y  f ( , y )y  y f x ( ), y f ( , x ),y . 4. 線性微分方程解的性質及解的結構定理. 5. 二階常係數齊次線性微分方程、高於二階的某些常係數齊次線性微分方 程. 6. 簡單的二階常係數非齊次線性微分方程： 自由項為多項式、指數函數、 正弦函數、餘弦函數，以及它們的和與積. 7. 歐拉(Euler)方程. 8. 微分方程的簡單應用. 五、向量代數和空間解析幾何 1. 向量的概念、向量的線性運算、向量的數量積(內積)和向量積(外積) 、向 量的混合積. 2. 兩向量垂直、平行的條件、兩向量的夾角. 3. 向量的座標運算式及其運算、單位向