数值分析（陈延梅）1非线性方程数值解法.pptVIP

事实上，若α是f(x)=0的重根，设其重数为r, Newton迭代法的全局部收敛性 定理1.5 设f(x)在有根区间[a, b]上二阶导数存在，且满足 (1) f(a)f(b)0; (2) f(x)?0, x?[a, b]; (3) f(x)不变号, x?[a, b]; (4) 初值x0 ?[a, b]且使f(x0) f(x0)0; 则 Newton 迭代法收敛于f(x)=0在[a, b]内的惟一 根. 例 研究求 的Newton公式证明：对一切 ,且序列{xk}是单调递减的，从而迭代过程收敛. 证 因a0，x00,故xk0 (k=1,2,?). 因此对一切k?1,均有 ,利用这一结果，得 故xk+1?xk,即{xk}单调递减.根据单调有界原理知,{xk}收敛 例 设a为正实数，试建立求 的Newton迭代公式，要求在迭代函数中不用除法运算，并要求当取初值x0满足 时，此算法是收敛的. 解 考虑方程 则 为此方程的根， ，用Newton法求 此方程根的迭代公式为 迭代函数不含除法运算. 递推可得 解得 当 时， ，从而 此算法收敛. 简化 Newton法与Newton下山法 简化 Newton法 一般地，取C= f‘(x0). 若 是一阶收敛的. Newton下山法 其中?为下山因子，?的选取应满足条件: ?f(xk+1)??f(xk)? 保证所得序列是收敛的. 重根情形 已知根的重数r 将Newton法修正为 它是求r重根α的二阶收敛格式. 记ek+1 = α-xk+1 = 记 由f(α)=f?(α)=?=f (r-1)(α)=0有 G (j)(α)=0, j=0,1,2,?,r ; G (r+1)(α)=-f (r+1)(α) 在α处将G(xk), f?(xk)Taylor展开 从而它具有二阶收敛格式. 根的重数未知 将Newton法修正为 其中 u(x)=0单根就是f(x)=0的r重根，故它是求f(x)=0重根的 二阶收敛格式. 事实上，设α是f(x)=0的r重根 α 为u(x)=0单根. 例 方程x4-4x2+4=0的根?= 是二重根，用下列方法求根 (1) Newton迭代法(1.3.11); (2)修正的Newton迭代法 (1.5.2); (3)修正的Newton迭代法 (1.5.4) 解 三种方法的迭代公式： Newton迭代法 修正的Newton迭代法 (1.5.2) 修正的Newton迭代法 (1.5.4) 取初值x0=1.5,计算结果如表： 计算三步方法(2)和方法(3)均达到10位有效数字，而牛顿法只有线性收敛 ，要达到同样精度，需迭代30次. k xk 方法(1) 方法(2) 方法(3) 1 x1 1.458333333 1.416666667 1.411764706 2 x2 1.436607143 1.414215686 1.414211438 3 x3 1.425497619 1.414213562 1.414213562 弦截法 弦截法 在方程f(x)=0的根α附近任取两初始近似根x0 ,x1 ，由迭代公式 逐次逼近f(x)=0的根α ，这种求根算法称为弦 截法. 收敛阶 ，效率指数 迭代加速收敛的方法 Aitken加速收敛方法 当序列{xk}为线性收敛时 当k较大时, , , 称为Aitken加速收敛方法 Steffensen加速迭代法 若{xk}为由不动点迭代法得到的序列，将Aitken 加速收敛技巧与不动点迭代结合得如下迭代法: 又称为Steffensen加速迭代法.