常常态态分分布布.PDF

  常態常態分分布布 成功功高中中‧陳冠冠宏老老師 15-3-3 常態分布 定理敘述 1. 常態分佈為一連續型隨機變數，其曲線圖形以x=μ為對稱軸左右對稱，其中μ為常態分 布之期望值（平均），中間部份所占比例較大，愈往兩旁所占比例越小有如鐘型，故又 稱鐘型分布。此外，因最早將常態分布曲線用在描述分布的是數學家高斯，故又稱高斯 分布。  2. 若已知常態分佈之平均μ ，標準差 ，則依「經驗法則」可估算出母體資料中： 約有68％的資料落在區間[,] 內 約有95％的資料落在區間[2,2] 內 約有99.7％的資料落在區間[3,3] 內 3. 平均為0 ，標準差為1 之常態分布稱為標準常態分布。可將任意常態分布標準化即得。 定理證明或說明 X   已知隨機變數X 為平均μ，標準差 之常態分布，若Y ，則Y 為平均為0 ，標  準差為 1 之常態分布 關鍵字 常態分布 多普達國際．信望愛文教基金會 2 例題1 若某校 1000 位學生的數學段考成績平均分數是65.24 分，樣本標準差是5.24 分，而且已知 成績分佈呈現常態分配。試問全校約有多少人數學成績低於60 分 Ans ：160 人 解：60=65.24-1×5.24 ，故取小於平均減一個標準差之人數，由常態分布之經驗法則可知，約 佔全部 16％，即160 人 例題2 若某校 1000 位學生的平均身高是 160 公分，樣本標準差是 10 公分，而且已知身高分佈呈 現常態分配。試問全校約有多少人身高高於 180 公分 Ans ：25 人 解：80=60+1×10 ，故取大於平均加二個標準差之人數，由常態分布之經驗法則可知，約佔全 部2.5％，即25 人 例題3 若某校 10000 位學生的平均體重是65 公斤，樣本標準差是 10 公斤，而且已知體重分佈呈 現常態分配。試問全校約有多少人體重低於95 公斤 Ans ：9985 人 解：95=65+3×10 ，取大於平均加三個標準差之人數，由常態分布之經驗法則可知，約佔全部 0.15％，即15 人，故低於95 公斤約9985 人 例題4 若某校 1000 位學生的數學段考成績平均分數是54.76 分，樣本標準差是5.24 分，而且已知 成績分佈呈現常態分配。，若小明的分數為60 分，試問其在全校的排名約為第幾名 Ans ：160 名 解：60=54.76+1×5.24 ，故取大於平均減一個標準差之人數，由常態分布之經驗法則可知，約 佔全部 16％，即約160 人分數超過60 分，故小明約為第 160 名 例題5 若某校高三400 位學生的學測成績平均級入是50 級分，樣本標準差是5 級分，而且已知成 績分佈呈現常態分配。，則下列敘述何者正確？ (1)全校約有272 位學生成績介於45 級分與55 級分 (2)約有5％的人超過60 級分 (3)約有 10 位學生成績低於40 級分 (4)不會有75 級分的學生 (5)一定有50 級分的學生 多普達國際．信望愛文教基金會 3 Ans ：(1)(3) 解： (1)即介於平均增減一個標準差的範圍內，約68％， 400×68％=272 (2)即大於平均加二個標準差的範圍，約2.5％ (3)即小於平均減