函数的性质(学生版).docx

函数的单调性1．函数的单调性(1)增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：①如果对于定义域I内某个区间D上的________自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是________．②如果对于定义域I内某个区间D上的________自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是________．(2)单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) ________，区间D叫做y＝f(x)的________．2．函数的最值(1)最大值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有________；②存在x0∈I，使得________．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．(2)最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：①对于任意的x∈I，都有________；②存在x0∈I，使得________．那么我们称m是函数y＝f(x)的最小值． ()下列函数中，定义域是R且为增函数的是(　　)A．y＝e－xB．y＝x3C．y＝lnxD．y＝|x| 若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(　　)A．2B．－2C．2或－2 D．0 下列区间中，函数f(x)＝在其上为增函数的是(　　)A．(－∞，1] B.C.D．[1，2) ()函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为________． 设a为常数，函数f(x)＝x2－4x＋3.若f在上是增函数，则a的取值范围是________．类型一　判断函数的单调性，求函数的单调区间　(1)()求下列函数的单调区间：①y＝－x2＋2|x|＋3；②y＝1－；③y＝x3－3x.　(1)下列函数中，在区间(0，1)上单调递减的是________．(填写序号即可)①f(x)＝sinx; ②f(x)＝x＋；③f(x)＝log(x＋3); ④f(x)＝|x＋1|.类型二　函数单调性的应用　若函数y＝log2(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上是单调增函数，求实数a的取值范围．　是否存在实数a，使函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2，4]上是单调增函数？证明你的结论. 类型三　抽象函数的单调性　已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x0时，f(x)0，f(1)＝－.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值．　()f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x＞0，y＞0都有f＝f(x)－f(y)，当x＞1时，有f(x)＞0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性并证明；(3)若f(6)＝1，解不等式f(x＋5)－f＜2.1．证明函数的单调性与求函数的单调区间，均可运用函数单调性的定义，具体方法为差式比较法或商式比较法．注意单调性定义还有如下的两种等价形式：设x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，那么(1)＞0?f(x)在(a，b)内是增函数；＜0?f(x)在(a，b)内是减函数．上式的几何意义：增(减)函数图象上任意两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率恒大于(或小于)零．(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0?f(x)在(a，b)内是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0?f(x)在(a，b)内是减函数．2．函数单调性的判断(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法．(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性；(4)复合函数的单调性：如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相同，那么y＝f(g(x))是增函数；如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相反，那么y＝f(g(x))是减函数．在应用这一结论时，必须注意：函数u＝g(x)的值域必须是y＝f(u)的单调区间的子集．(5)在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．3．函数最值的重要结论(1)设f(x)在某个集合D上有最小值，m为常数，则f(x)≥m在D上恒成立的充要条件是f(x)min≥m；(2)设f(x)在某个集合D上有最大值，m为常数，则f(x)≤m在D上恒成立的充要条件是f(x)max≤m.4．自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系可正逆互推