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勾股定理的证法及其价值和应用 摘要：勾股定理是是初等平面几何中的一个基本定理，是数形结合的完美体现，其定理有着广泛的运用，是解决许多问题的工具.在数学的发展史上，勾股定理扮演着及其重要的角色，其证明方法也不计其数.本文将介绍几种著名的证明方法，并就几种主要的方法进行探讨各种证法之间的联系，并根据勾股定理价值介绍其在数学教学领域和其他领域的应用。 一、勾股定理历史 众所周知，勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.数学公式中常写作：a2 + b2=c2 （直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c）. 这个著名的定理有着十分悠久的历史，是一条古老的数学定理，不论什么国家、什么民族，只要是具有自发的（不是外来的）古老文化，他们都会说：我们首先认识的数学定理就是勾股定理，几乎所有的文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）在公元前都有所研究。这个定理的叙述最早出自中国古代大约是西汉的数学著作《周髀算经》，书中商高答周公问中有“勾广三、股修四、径隅五”的话.意思就是直角三角形的两条直角边分别是3和4，则斜边是5. 以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”. 但在西方文献中，勾股定理一直以古希腊哲学家毕达哥拉斯的名字来命名，称为毕达哥拉斯定理欧洲国家，因为希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了.据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺.因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”. 二、勾股定理的证法 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，1940 年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑,其中收集了367 种不同的证明方法。实际上还不止于此,有资料表明,关于勾股定理的证明方法已有500余种,仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。下面就介绍几种主要的证明方法，并讨论其证法间的内在联系。 1.几种著名的证明方法： 证法一：（欧几里得证明） 在希腊数学中，关于勾股定理的明确证明见于欧几里得的《几何原本》． 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE， 交AB于点M，交DE于点 L. ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔCAD， ， ∵ΔCAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， ∴ 矩形ADLM的面积 = 同理可证，矩形MLEB的面积 =. ∵ 正方形ADEB的面积= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ∴，即 . 值得指出的是，由于《几何原本》的广泛流传，欧几里得的证明是勾股定理所有证明中最为著名的，为此，希腊人称之为“ 已婚妇女的定理” ；法国人称之为“ 驴桥问题” ；阿拉伯人称之为“ 新娘图” “ 新娘的坐椅” ；在欧洲，又有人称之为“ 孔雀的尾巴” 或“ 大风车” ．两千年来世界上《几何原本》不同文字对这一颇具特色的定理都附插图，异文同图，饶有风趣． 证法二：（赵爽证明） 以a、b 为直角边（ba）， 以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于. 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90o. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于. ∴ . ∴ . 证法三：（1876年美国总统Garfield证明） 以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形， 它的面积等于. 又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴