圆锥截线的故事 数学与文明的重大篇章.doc

圓錐截線的故事─項武義教授演講心得 建國高中實習老師　林世偉 審訂：臺灣大學數學系　張海潮教授 克卜勒發現的行星運行三大運動定律，無疑是對數學發展的一次大躍進。在外太空行星運行軌道，竟可以用一個數學式子來表示。讓當時的社會產生數學是解釋一切自然現象的基礎，也是上帝造萬物的模型。行星的橢圓軌道更是讓人大嘆大自然的奧妙與造物主的神奇。在十一月十七號的下午，我有幸在台大能聆聽數學界的前輩─項武義項教授的演講。我就試著整理教授的講稿與加進一點自己的所學，打成了這篇文章與大家分享。話不多說，讓我們趕快進入那圓錐截線如史詩般壯闊的篇章吧！ 圓錐截線的源起 話說當年，古希臘的文明在繼承古巴比倫文明和古埃及文明的基礎上蓬勃發展，使得人類理性對大自然的認知獲得長足進步，成就輝煌。而幾何學與天文學則是其中最重要的主導，也是孕育理性文明的泉源。在希臘幾何的基礎理論中，三角形和圓的研究居於核心地位，前者是最為精簡的幾何事物而後者則是最為對稱完美的形狀。而希臘幾何學所達到的最高境界就是球面和圓錐截線的研究與認知。希臘數學家阿波羅尼斯(Apollonius)所寫的八冊圓錐截線論可以說是希臘幾何學的巔峰。那到底圓錐截線是怎樣被人類找到，又怎樣開啟了人類對它的興趣呢？ 在大自然中一段樹幹或一節竹子可以看做數學中的圓柱體，當人們鋸樹或鋸竹子，自然會注意到所得的截面形狀和鋸得正還是鋸得歪了是很有關係的；正則圓，歪則橢。此事對我們一般人來說很常見，不足為奇。但是古希臘幾何學家卻鍥而不捨的去研究，發現了下述引人入勝的突破。 如圖所示，兩個球與圓柱面相切於和， 而且和截面分別相切於和。由此只要再 利用球外一點到球面的切線長都相等的這項 性質。就可以簡潔的論證圓柱截線上任一點 P到和的距離之和是一個常數，即 常數 由圓柱截面推廣到圓錐截面 也許有人進一步認識到樹幹其實是底粗頂細的，貼切一點講就是一種圓錐體。從圓錐體的截面，又找到了另外兩種圓錐截線。古希臘幾何學家從生活中的例子找到圓錐截線的線索，進而探討它們的幾何性質，奠定了後代研究圓錐截線的基石。 解析幾何的牛刀小試與溫故知新 在文明的歷史上，傳統的幾何學因為缺乏新興的思想及研究方法而停頓不前。沉寂了好一陣子，直到文藝復興的時代才有了突破。一方面東羅馬帝國的滅亡迫使許多希臘學者把書籍如歐幾里德幾何原本，數論帶入了義大利。另一方面，中國的活字版印刷術，還有阿拉伯的代數學也西傳進入了歐洲。就在這種種的遇合下，數學的思想可以快速綻放。幾何學和代數學的會師業已時機成熟，水到渠成，誕生了笛卡兒解析幾何的時代，代數學和幾何學融為一體，相輔相成相得益彰，是理性文明的發展史上的重大發展。這新興的思想和方法給了圓錐截線新的風貌，首先很自然的只要我們選取適當的坐標，把圖形弄正，就是我們高中所學的橢圓，雙曲線和拋物線標準式。我們知道圓錐截線的標準式，都是二元二次式。 現在反過來給一個二元二次方程式，。 我們當然會想要知道它是否就一定是一種圓錐截線。在研究這類的問題時，我們知道曲線當然會隨著方程式的係數而定，但是對於同一曲線，坐標選取不同係數就會不同，所以那些係數是沒有本質上的幾何意義。只有在坐標變換下不變的東西才會有幾何意義，所以我們自然要討論它們在坐標變換之下的不變量。 構成一組基本不變量 透過這種不變量的研究，就可以知道所有二次曲線的圖形就是拋物線，橢圓，雙曲線或其退化型。 當然前面的部分只是解析幾何溫故的部份，現在我們要讓自己去知新，怎樣透過解析幾何有新的觀點呢？來看看下面的問題：在平面上隨便給我五個點，我就可以能不能去決定一個圓錐截線，像這種問題在以往的希臘時代，想到了也是沒辦法去證明。所以解析幾何給了人們不同的思維去解決問題。以下就是解析幾何的証明： 定理：設是平面上任給的相異五點，則有一個唯一的圓錐截線過上述五點。 證明：想法是先求相異六點共在一個二次曲線的代數條件。設六點共在下述二次曲線之上，即 () ， ，把它衍想成是待定係數的齊次線性方程組，則()具有非零解的條件為其係數行列式值為0，即 若把，取定，而讓第六點變動，改以記之，所得者即為上述五點所定的二次曲線。 唯一性的証明則是要證明滿足上述條件的待定係數，彼此只差一個常數倍。 解析幾何中重要的還有參數式的應用，原本希臘人看到的圓錐截線是靜止的躺在那邊。但是透過橢圓的參數式：，，。用了來做了動態描述。至此很多圓錐曲線的性質，透過了解析幾何而有了新的契機。 千古之謎的真相大白 當我們夜晚仰望星空，看見繁星點點，斗轉星移，星星的光亮漫遊宇宙中，不論是現今的我們還是先人當然會很好奇的想要知道星星的軌跡，並預測