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如何判断三角形解的个数 曹贤波 “已知两边和其中一边的对角”解三角形，这类问题通常利用正弦定理来讨论。本文给出用余弦定理的变形来讨论的一般方法。 在△ABC中，已知a、b和A，由余弦定理可变形得： 这是一个关于c的一元二次方程。 1. 若方程（*）有两个不相等的实数根，且： （1），则此三角形有两解； （2），则此三角形有一解； （3），则此三角形无解。 2. 若方程（*）有两个相等的实数根，且： （1），则此三角形有一解； （2），则此三角形无解。 3. 若方程（*）无实数根，则此三角形无解。 综合分析以上各种情况，可以发现：方程（*）有几个正实数根，三角形就有几个解；因此，遇到该类问题，就可以转化为方程（*）正实数根的个数了，比用正弦定理讨论起来更简捷，更实用，且具有公式化。 例：根据下列条件，判断△ABC解的个数。 （1）； （2）； （3）。 解：由变式（*）得如下方程： （1） 即，所以，故此三角形无解。 （2） 即 所以，故此三角形只有一解； （3） 即 所以，故此三角形有两解。 两招破解三角形解的个数问题 学了正、余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼，当三角形中已知两边和其中一边的对角时，可能出现一解、二解、无解等情况，虽然书上也有相应的方法，可是一些同学茫然依旧，下面提供“两招”供同学们选择，希望能帮助同学们顺利破解。 第一招：大角对大边 在已知三角形ABC中的边长a，b和角A，且已知a，b的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B与角A的大小关系，然后求出B的值，根据三角函数的有界性求解。 例1. 在△ABC中，已知，，，求A、C及c。 解：由正弦定理，得 ， 因为，，所以或。 当时，， ； 当时，， 。 点评：在三角形中，这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘。 第二招：二次方程的正根个数 一般地，在△ABC中，已知a，b和角A，常常可对角A应用余弦定理，并将其整理为关于c的一元二次方程，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解。 例2. 如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=，∠BCD=，求BC的长。 解：在△ABD中，设BD=x， 则， 即， 整理得，解得，（舍去）。 由正弦定理，得。 点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷。 1、正弦定理： （其中：R为△ABC的外接圆半径） 正弦定理的变形 边化角 角化边 比例 等比性质 =… 2、余弦定理及推论： 3、三角形面积公式： 注意：在三角形中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时，经常用到，要记熟并灵活地加以运用 4、利用正弦或余弦定理，可以解决以下几类三角形问题： ①已知两角和任一边，求其他两边和一角； ②已知三边，求三角； ③已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角; ④已知两边和其中一边的对角，求其他两角和一边。 (注意这类问题可能有两解,一解,也可能无解). 一、关于三角形的解得个数 1.已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形的解的个数。 ⑴； ⑵ ⑶ ⑷ (5) 在△ABC中， 2、在△ABC中，，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、 二、两个定理和面积公式的综合应用 积 5.在三角形中,已知(a+b)(a- b)=c(b+c),求角A. 6.在中，已知 7. 在△ABC中,已知面积 则角C= 8.△ABC的外接圆半径R=2，，则a= ， b= 三、边角互化（典型题型整理） 1、在中，已知2b=a+c，证明：2sinB=sinA+sinC 2、在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，试证明：a=bcosC+ccosB 3、判断三角形的形状 4、在中,，这个三角形是__________三角形。 5、 6、（2008年高考山东卷15）．已知为的三个内角的对边， 向量，．若，且，则角 ． 7、在△ABC中，已知BC=a，AC=b，且a，b是方程的两个根， 求：⑴角C的度数 ⑵AB的长 8. 已知的周长为，且． ⑴．求边的