函数的极限无穷小无穷大极限运算法则.ppt

第三节 主要讨论:在自变量的某一变化过程中,函数是否与一常数无限接近,即形如： 一、自变量趋于有限值时函数的极限 定义1 . 设函数 例1. 证明 例2. 证明 例3. 证明 练习. 证明: 当 2. 保号性定理 推论: 定理 2 . 若在 *定理3. 例1. 证明 3. 左极限与右极限（单侧极限）P34 例4. 给定函数 二、自变量趋于无穷大时函数的极限 二、自变量趋于无穷大时函数的极限 例5. 证明 两种特殊情况 : 第四节 一、 无穷小 定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) 二、 无穷大 注意: 例 . 证明 三、无穷小与无穷大的关系 内容小结 第五节 一、 无穷小运算法则 定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 例1. 求 P48. 例8 二、 极限的四则运算法则 推论: 若 定理 3-2 若 定理 3-2 . 若 定理 3-3 若 定理4 若 例3. 设有分式函数 例5 . 求 例6 . 求 一般有如下结果： 三、 复合函数的极限运算法则 例7 . 求 内容小结 练习题 3. 求 作业 思考题 1. 设 2. 试确定常数 a 使 定理 3-3 证明 例如， ( P56 题 4 (2)；P49 题1（12））见课件 注：Th1 1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 2. 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 证: 设 又设 即 当 时, 有 . 取 则当 时 , 就有 故 即 是 时的无穷小 . 证: 设 又设 即 当 时, 有 . 取 则当 时 , 就有 故 即 是 时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 练习 . P31 Ex 5 推论 2说明 ： 无限个无穷小的乘积未必是无穷小 . 解: 利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 . 则有 证: 因 则有 (其中 为无穷小) 于是 由定理 1 可知 也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 . 定理 3-1 . 若 且 则 ( P46 定理 5保号性 ) 利用保号性定理证明 . 说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 . 提示: 令 为无穷小 且 B≠0 , 则有 证: 因 有 其中 设 由极限与无穷小关系定理 , 结论可得。 因此 ? 为无穷小, 则有 说明: 定理 3-2 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 . ( C 为常数 ) 推论 2 . ( n 为正整数 ) 例2. 设 n 次多项式 试证 证: 且 B≠0 , 则有 证: 略见P44；或者见本课件最后一页。 则有 提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .（已经在第二节讲过） 其中 都是 多项式 , 试证: 证: 说明: 1. 不能直接用商的运算法则，如例4、例5 要先化简，或者通过求倒数的极限。 若 解: x = 1 时, 分母 = 0 , 分子≠0 , 例4. x = 3 时分母为 0 ! 解: 分子分母同除以 则 “ 抓大头” 原式 为非负常数 ) ( 如 P47 例5 ) ( 如 P47 例6 ) ( 如 P47 例7 ) 定理5. 设 且 x 满足 时, 又 则有 证:略 当 时, 有 当 时, 有 对上述 取 则当 时 故 ① 因此①式成立. 定理5. 设 且 x 满足 时, 又 则有 说明: 若定理中 则类似可得 解: 方法 1 则 令 ∴ 原式 方法 2 1. 极限运算法则 (1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则 注意使用条件 2. 求函数极限的方法 (1) 分式函数极限求法 时, 用代入法 ( 要求分母不为 0 ) 时, 对 型 , 约去公因子 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头” (2) 复合函数极限求法 设中间变量 Th1 Th2 Th3-1 Th3-2 Th3-3 Th5 1. 是否存在 ? 为什么 ? 答: 不存在 . 否则由 利用极限四则运算法则可知 存在 , 与已知条件 矛盾. 解: 原式 2. 问 解法 1 （分子有理化） 原式 = 解法 2 （换元） 令 则 原式 = P49 1 (3)，(5)，(7)，(9), (14) 2 (2)