初等数论§不定方程.pptVIP

初等 数论 赵爽弦图 赵爽:东汉末至三国时代吴国人. 为《周髀算经》作注，并著有《勾股圆方图》。这是我国对勾股定理最早的证明。 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。 1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。 毕达哥拉斯定理： 　　毕达哥拉斯　　　 　　“勾股定理”在国外，尤其在西方被称为“毕达哥拉斯定理”或“百牛定理”． 相传这个定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。他发现勾股定理后高兴异常，命令他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发现，因此勾股定理又叫做“百牛定理”．　 “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。 正因为如此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽。 c b a = 这就是本届大会会徽的图案． 这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”． a a b b c c 伽菲尔德证法: ∴ a2 + b2 = c2 一、问题的提出 我们把满足二次不定方程 的正整数解称为勾股数. 早在我国古代数学书《周髀算经》中，就载有“勾三 股四弦五”，实际上说明该方程存在整数解。方程 〔1〕的非零整数解如何去求，其解具有怎样的特征， 是这里要回答的问题。 《周髀算经》是中国流传至今最早的一部数学著作,同 时也是一部天文学著作。现传本大约成书于西汉时期 (公元前一世纪)。也有史家认为它的出现更早，是孕于 周而成于西汉，甚至更有人说它出现在纪元前1000年。 二、二次不定方程 解的形式 为简单起见，我们先求方程〔1〕满足下述条件(2)的解 注：〔2〕中的条件 可以改写为 定理1： 定理1的证明： 不论z如何取值，z2也不可能表示为该形式。 讨论同(2). * * * 第二章 不定方程 §2.1 二元一次不定方程 一、问题的提出〔百钱买百鸡〕 鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。 百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？” 分析：设x, y, z分别表示鸡翁、鸡母、鸡雏的只数， 则可列出方程如下： 消去z得到方程 这里，方程的个数少于未知数的个数，在实数范围内， 方程的解有无穷多个。而我们所关心的是其有无整数 〔或正整数〕解，这种方程〔组〕称为不定方程。 小明家现有边长相等的正三角形、正方形、正五 边形、正六边形四种地板砖，要选择其中两种用 以铺地板,则下列选择正确的是（ ） 分析： 这类问题实质上是“不定方程求正整数解”的问题，因为铺好的地板中间不能出空隙，所以两种图形内角拼在一起恰好要构成360 度角，并且砖的块数又是正整数。于是就使几何拼图转化成不定方程求正整数解的问题。 A、① ②、 B、① ③、 C、 ② ③、 D、 ② ④ 设需正三角形地砖m块，正方形地砖n块恰好铺成， 则有 60m+90n=360. 二元一次不定方程的一般形式为 注：该方法对一次项系数较小的方程比较实用。 二、二元一次不定方程解的形式和判定 定理1 若〔1〕式有整数解 则〔1〕式的一切解可以表示为 （2） 定理1的证明： 证：把〔2〕代入〔1〕，成立，故〔2〕是〔1〕的解。 例2 写出下列方程通解的形式： 说明：定理1给出了方程通解的一般形式。这样， 解决问题的关键在于求一个特解。 问题：所有的二元一次方程都有解吗？ 定理2 有整数解 即为方程〔1〕的解。 三、求二元一次不定方程整数解的一般方法 先求一个特殊解，再根据定理1写出其通解。 对于方程(1),若有解，则可化为 一般地，利用辗转相除法，得到 例3 求方程 的一个特殊解。 解：用7、4进行辗转相除法 例4 求 〔1〕的一切整数解。 原方程可以化为 先求 〔3〕 的一个整数解。 107＝37×3－4，37＝4×9+1， 从而 故〔3〕的一个整数解是 〔2〕的一个整数解是 原方程的整数解为 三、求二元一次不定方程整数解的一般方法 代数运算，观察法 例5 求 的一切整数解。 即得到原方程的一个整数解 从而所求的一切整数解为 三、求二元一次不定方程整数解的一般方法 变量代换法 例6 求 的一切整数解。 解：原方程可化为 则方程可化为 则方程可化为 则方程可化为 逐步往回代入，可得 习题讲解：