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1.函数和式的极限问题 3) 近似和. 3) 近似和 2.定义 定积分几何意义 王 皓 引言《数学知识》 变量： （一）.变量、常数和函数 §1.函数、导数与微分 一、微积分初步 如：时间，温度等。 常量（恒量）： 指现象或过程中本身取值保持一定的量。 如：100，n等。 函数： x、y为变量，x在变域内任取值时，y都有确定值与之对应，则称y是x的函数。 记作 y=f(x) 指现象或过程中本身取值会发生变化的量。 （二）导数 函数 在 并称此极限为 记作: 则称 平均变化率 有增量 在点 处可导, 在点 的导数. 则y也有增量 N 意义： 为啥要求导？ 获得变化率，增量比极限； 可以说是一点的变化率； 变化快慢的比较； 自变量变化引起因变量变化的程度问题； 便于我们对事物现象过程的认识！ 反映在 处函数 随自变量而变的增减趋势和变化快慢。 求出来 的也是 的函数，又叫导函数。 N 几何意义 曲线 在点 的切线斜率为 若 曲线过 上升; 若 曲线过 下降; 切线方程: 割线斜率不是导数 常用求导公式 导数基本运算 例1. 解: 求 t = 3 s 时的 例2. 解: （三）微分 自变量有微小变化量，函数(因变量)的微小变化量是怎样？ (A不依赖于△x ) 则y也有增量 记作 则称函数 在点 可微, 的微分, 而 称为 在点 在一点可微的充要条件是： 处可导， 在 且 微小的变化量 函数 在 有增量 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 面积的增量为 关于△x 的线性主部 高阶无穷小 时为 故 称为函数在 的微分 当 x 在 取 得增量 时, 变到 其边长由 △为微小量: 为啥要进行微分？ 自变量有微小变化量，函数(因变量)的微小变化量是怎样？ 导数和微分都是讨论函数的局部性质。 微分----连续函数局部用线性函数逼近的可能性（理解为极值） 导数----连续函数在某点附近函数值的变化率是否趋近一定值。 微分几何意义 当 很小时, 切线纵坐标的增量 曲线的弧长为 常用微分公式 （一）.原函数 §2.积分 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 在区间 I 上的一个原函数 . 则称 F (x) 为f (x) 为x的一个原函数 . 为x的一个原函数 . 为x的一个原函数 . 则称 F (x)+C 为f (x)的原函数 . （二）.不定积分 运算法则： 在区间I 上的原函数全体称为 在I上的不定积分, 若 记作 1.导数逆运算 2. 3. 4. 常用积分 或 或 曲边梯形面积 两直线 矩形面积 梯形面积 解决问题的思想、方法 大化小 常代变 近似和 取极限 （三）.定积分 1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 用直线 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 常代变. 在第i 个窄曲边梯形上任取 作以 为底 , 为高的小矩形, 并以此小 矩形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 得 4) 取极限. 令 则曲边梯形面积 设某物体作直线运动, 且 求在运动时间内物体所经过的路程 s. 1) 大化小 在每小段物体的路程 2) 常代变 已知速度 以 代替变速，得 任取 在[T1,T2]中任插n-1个分点，将它分成n 个小段 4) 取极限 任取 总趋于确定的极限 I , 则和式极限 I 称为函数 在区间[a,b]上的定积分, 即 设函数f(x)定义在[a ,b]上，将[a ,b]等分成n个子区间 记作 时，和式 积分上限 积分下限 被积函数 被积表达式 积分变量 积分和 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值 各部分面积的代数和 ( k 为常数) 牛顿-莱布尼茨公式 ，也就是 F(x) 为 f(x) 的原函数 若 则 3.定积分的性质 例3. 求 解： 例4. 解： 例5. 已知v=v0+at，v0，a为常量，求t从0至t时间内的位移S 解： 作业. P463 1.（1）（2）（3）（4） 3.（1）（5）（9）（12） 4.（3）（6）（7）（8） 8. 帆船逆风行驶的问题：帆船可逆风行驶，船头时而偏左，时而偏右，沿“S”形路线前进。如图1－6（a）所示，MN表示帆面，当逆风吹向MN时，风对帆产生作用力R。因帆对风来说是光滑的，所以作用力R的方向与帆面垂直。把R分解为两个力：一个为与船身垂直的F1，一个为沿船前进方向的F2。显然，分力F1的作用是使船横向移动，但由于船身的侧面积比较大，水的阻力很大，因而船横向移动并不显著。分力F2与船前进