22等差数列的前n项和.PPT

2.2等差数列的前n项和（第三课时） ——等差数列的前n项和的函数特性及最大致与最小值 等差数列的前n项和公式: 形式1: 形式2: 复习回顾 .将等差数列前n项和公式 看作是一个关于n的函数，这个函数有什么 特点？ Sn是关于n的二次式，常数项为零。（d可以为零） 则 Sn=An2+Bn 令 新课讲授 结论1：若数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn， (p,q为常数)是关于n的二次式，则数列{an}是等差数列。 {an}是等差数列 Sn=pn2+qn(p,q为常数,d=2p) 当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数 若C≠0，则数列{an}不是等差数列。 若C=0，则{an}为等差数列； 结论2：设数列{an}的前n项和为 Sn=An2+Bn+C，(A,B,C是常数） 当d=0时,Sn=na1不是二次函数 例1 若一个等差数列前3项和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有______项。 13 例2 已知数列{an}中Sn=2n2+3n，求证：{an}是等差数列. 例1、若等差数列{an}前4项和是2，前9项和是－6，求其前n 项和的公式。 ， 解之得： 解：设首项为a1，公差为d，则有： ∴ 设 Sn= an2 + bn，依题意得：S4=2, S9= －6, 即 解之得： 另解： 等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 解法1 由S3=S11得 ∴ d=－2 ∴当n=7时,Sn取最大值49. 等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 解法2 由S3=S11得 d=－20 ∴当n=7时,Sn取最大值49. 则Sn的图象如图所示 又S3=S11 所以图象的对称轴为 7 n 11 3 Sn 等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 解法3 由S3=S11得 d=－2 ∴当n=7时,Sn取最大值49. ∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15 由 得 ∴a7+a8=0 等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 解法4 由S3=S11得 ∴当n=7时,Sn取最大值49. a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8 又d=－20,a1=130 ∴a70,a80 解: 由S3=S11得 d0，则d/2＜0 ∴当n=7时,Sn取最大值49. 则Sn的图象开口向下，如图所示 又S3=S11 所以图象的对称轴为 7 n 11 3 Sn 例1的变式题一：等差数列{an}中，首项a1０，S3 = S11，问：这个数列的前几项的和最大？ 例2：已知数列{an}是等差数列，且a1= 21，公差d=－2，求这个数列的前n项和Sn的最大值。S11最大为121 的前n项和为 , ②当n为何值时， 最大，s22最大 ①数列 的通项公式 an=-8n+48 已知 求： 例3设等差数列 求等差数列前n项的最大(小)的方法 方法1:由 利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值. 方法2:利用an的符号 ①当a10,d0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得. ②当a10,d0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an ≤0且an+1 ≥ 0求得. 练习:已知数列{an}的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为( ) A.12 B.13 C.12或13 D.14 C 当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数 则 Sn=An2+Bn 令 小结 Sn是关于n的二次式，常数项为零。（d可以为零） 结论1：若数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn， (p,q为常数)是关于n的二次式，则数列{an}是等差数列。 {an}是等差数列 Sn=pn2+qn(p,q为常数,d=2p) 若C≠0，则数列{an}不是等差数列。 若C=0，则{an}为等差数列； 结论2：设数列{an}的前n项和为 Sn=An2+Bn+C，(A,B,