② 在区间_______ 上，f(x).PPT

函数的单调性 刘雨嘉 一.引入课题 观察下列各个函数的图象，并说说分别反映了相应函数的哪些变化规律： y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1 问：随x的增大，y的值有什么变化？ 画出下列函数的图象，观察其变化规律： 1．f(x) = x ① 从左至右图象上升还是下降______? ②在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ． 2．f(x) = -2x+1 ① 从左至右图象上升还是下降 ______? ②在区间 ____________ 上，随着x的增 大，f(x)的值随着 ________ ． 3．f(x) = x ①在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x的增大而 ________ ． ② 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x的增大而 ________ ． 2 二.新课教学 （一）函数单调性定义 思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义． 1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x ,x ，当x x 时，都有f(x )f(x )，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）． 1 2 2 1 1 2 注意： ① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1 , x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2) ． 2．单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间： 注意：⑴函数的单调区间是其定义域的子集； ⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在那样的特定位置上，虽然使得f( )f( )，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数； ⑶几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数. 熟悉几种基本函数的单调性： （3）二次函数 （2）反比例函数 （1）一次函数 （二）典型例题 例1．如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数. 知识点一： 由函数的图像说明函数的单调性 注意：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以； 例2．作出函数 的图象并指出它的的单调区间 例3．物理学中的玻意定律 (k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当体积V减小时,压强P将增大.试用函数的单调性证明之 知识点二： 函数的单调性的判定或证明 （主要方法 定义法） 3．用定义证明函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： ① 任取x1，x2∈D，且x1x2； ② 作差f(x1)－f(x2)； ③ 变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． 过程中分别标准出 取值—作差—变形—定号—下结论 ； 探究：画出反比例函数 的图象． ①这个函数的定义域是什么？ ②它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论． 结论3：反比例函数 的单调性，单调区间： 三.归纳小结 1、函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步： 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 2、直接利用初等函数的单调区间。