图论第一章图的基本概念.ppt

* * 图论及其应用 应用数学学院 《图论及其应用》 作者: 张先迪、李正良 购买地点：教材科 参考文献 [1] 美，帮迪《图论及其应用》 [2] 美，Gary Chartrand《图论导引》，人民邮电出版社，2007 [3] Bela Bollobas，《现代图论》，科学出版社，2001 中国科学院研究生教学丛书 [4] 美，Fred Buckley《图论简明教程》，清华大学出版社，2005 李慧霸 王风芹译 [5] 李尉萱，《图论》，湖南科学技术出版社，1979 [6] 美，Douglas B.West《图论导引》，机械工业出版社，2007 李建中，骆吉洲译 [7] 杨洪，《图论常用算法选编》，中国铁道出版社，1988 [8] 陈树柏，《网络图论及其应用》，科学出版社，1982 [9] Chris Godsil，Gordon Royle 《Algebraic Graph Theory》，世界图书出版公司北京公司，2004 [10] 王朝瑞，《图论》，高等教育出版社，1983 第一章 图的基本概念 本次课主要内容 图的概念与图论模型 (一)、图论课程简介 (二)、图的定义与图论模型 (三)、图的同构 (五)、顶点的度与图的度序列 (四)、完全图、偶图与补图 1、研究对象 图论是研究点与线组成的“图形”问题的一门科学。属于应用数学分支。 (一)、图论课程简介 2、发展历史 图论起源于18世纪的1736年，标志事件是“哥尼斯堡七桥问题 数学家欧拉被称为“图论之父” 20世纪30年代出版第一本图论著作 3、应用状况 图论的应用已经涵盖了人类学、计算机科学、化学、环境保护、流体动力学、心理学、社会学、交通管理、电信以及数学本身等。 目前，图论已形成很多分支：如结构图论、网络图论、代数图论、拓扑图论等 4、教学安排 主要介绍图的一些基本概念、基本理论和图论的典型应用。60学时。 1、图的定义 (二)、图的定义与图论模型 一个图是一个序偶V,E，记为G=(V,E),其中： (1) V是一个有限的非空集合，称为顶点集合,其 元素称为顶点或点。用|V|表示顶点数； (2) E是由V中的点组成的无序对构成的集合，称 为边集，其元素称为边，且同一点对在E中可以 重复出现多次。用|E|表示边数。 图可以用图形表示：V中的元素用平面上一个黑点表示，E 中的元素用一条连接V中相应点对的任意形状的线表示。 例1、设图G＝V,E。这里V＝{v1,v2,v3,v4} E＝{e1,e2,e3,e4,e5,e6}， e1＝(v1,v2)，e2＝(v1,v3)，e3＝(v1,v4)， e4＝(v2,v3)，e5＝(v3,v2)，e6＝(v3,v3)。 v1 v2 v3 v4 e1 e2 e3 e4 e5 e6 图的相关概念： 有限图：顶点集和边集都有限的图称为有限图； 平凡图：只有一个顶点的图称为平凡图； 空图：边集为空的图称为空图； n阶图：顶点数为n的图称为n阶图； (n, m) 图：顶点数为n,边数为m的图称为(n, m) 图； 边的重数：连接两个相同顶点的边的条数称为边的重数； 重数大于1的边称为重边； 环：端点重合为一点的边称为环； 简单图：无环无重边的图称为简单图；其余的图称为 复合图； 顶点u与v相邻接：顶点u与v间有边相连接；其中u与v称为 该边的两个端点； 顶点u与边e相关联：顶点u是边e的端点； 边e1与边e2相邻接：边e1与边e2有公共端点； 2、图论模型 为了抽象和简化现实世界，常建立数学模型。图是关系的 数学表示，为了深刻理解事物之间的联系，图是常用的数学 模型。 (1) 化学中的图论模型 19世纪，化学家凯莱用图论研究简单烃——即碳氢化合物 用点抽象分子式中的碳原子和氢原子，用边抽象原子间 的化学键。 通过这样的建模，能很好研究简单烃的同分异构现象 例如：C4H10的两种同分异构结构图模型为： h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h (2) 商业中的图论模型 商业中，经常用图来对仓库和零售店进行建模 例如：令V={w1,w2,w3,r1,r2,r3,r4,r5}代表3个仓库和5个零售点 E={w1r1, w1r2, w2r2, w2r3, w2r4, w3r3, w3r5}代表每个仓库和每个 零售店间的关联。则图模型图形为： w1 r1 r2 w2 r3 r4 w3 r5 (3) 最短航线问题 用点表示城市，两点连线当且仅当两城市有航线。为了 求出两城市间最短航线，需要在线的旁边注明距离值。 例如：令V={a, b, c, d, e}代表5个城市} E={a b, ad, b c , be, de}代表城市间的直达航线 则航