七招破解指数幂大小 - 湖北省黄梅县第一中学.DOC

七招破解指数幂大小 湖北省优秀学科教师　黄冈学术带头人 黄冈名师 黄冈骨干高级教师 黄冈师范学院硕士生导师 黄冈市中考命题审题组成员 黄梅首届名师 黄梅十佳教师 国家奥赛优秀辅导员 中国奥赛一级教练员 黄梅一中 王卫华 邮编435500 794236493@ 对于数，通常我们要比较大小，同样对于指数幂形式的数我们也要比较大小，很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．如何解决指数幂的数的大小呢？下面举例说明． 　　一．直接利用指数函数的单调性 例1．设，比较a8－a5+a2－a+1与0的大小． 解：当，或时，a8－a5+a2－a+1＞0． 当时，若，则指数函数在上是单调增函数， ，，； 若，则在上是单调减函数， ，．又，故． 综上可知，对任何，都有成立． 说明：指数函数在时在上是单调增函数；在时在上是单调减函数．指数函数的单调性，在比较实数的大小方面，具有特殊的功效．除此之外，在解决某些似棘手的问题时，也显示着非凡的功能． 二．换元法 例2．若，且，，都是正数，则，，从小到大依次为＿＿＿＿＿． 解：令，则，，，， ∴，∴； 同理可得：，∴，∴．（3）取，知选（）． 说明：一般的，如果是连等号的题目，通常是采用换元法的思想去解题，注意换元的范围． 三．图象法 例3．右图是指数函数①y=ax，②y=bx，③y=cx，④y=dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是 A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c解：因为任何底数的一次幂都是底数本身，所以，可作直线x=1，它同各个图象相交，交点的纵坐标就是各指数函数的底数与的大小． 解：，，． 说明：当底数与指数都不相同时，选取适当的“中间”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小． 五．作商法 例5．若，，试比较与的大小． 解：，．． 又，则，，． 又，，即． 说明：当底数与指数都不同，中间量又不好找时，可采用作商比较法，即对两值作商，根据其值与1的大小关系，从而确定所比值的大小．当然一般情况下，这两个值最好都是正数． 六．化同底 例6．设y1＝，y2＝，y3＝，则（ ） (A) y3＞y1＞y2 (B) y2＞y1＞y3(C) y1＞y2＞y3 (D) y1＞y3＞y2 解：本题是比较大小问题，可化为同底．由y1＝，y2＝，y3＝，又指数函数y＝2x是增函数，故有y1＞y3＞y2，而选(D)． 说明：在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断． 七．作差法 例7．设，且，试比较与的大小． 解： ． （1）当时，，． 又，，从而．，． （2）当时，，即． 又，，，故． ．． 综上所述，． 说明：作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还是负，从而确定所比值的大小．分类讨论是一种重要的数学方法，运用分类讨论法时，首先要确定分类的标准，涉及到指数函数问题时，通常将底数与1的大小关系作为分类标准．