介电常数为 的介质球.PPT

例 计算带电肥皂泡的膨胀力。 解 设肥皂泡的电荷量为q ，半径为a。利用常电荷系统公式，令式中的广义坐标 l 代表体积 V，则受到的膨胀力F 为 + + + + + + + + 已知半径为a，电荷量为q 的带电球的电位为 又知球的体积为 求得 如果利用库仑定律，如何计算？ 函数及其相关函数 当 因此 可以得到 当R=0，则上述微分不能运算，为了要计算包括R=0的区域中 的值，我们可以令源点P’移动到坐标原点，则位置矢量 r’=0，R=r。 以坐标原点为球心做一个半径为a的球，将函数 对该球进行积分，利用散度定理： 当 有 若体积V中不包括R=0的原点， 根据 函数的定义，有 函数及其相关性质 电荷的分布特性可以用电荷体密度Ruo(r)来表示，一般为空间 坐标连续函数。 但是在电磁场问题中会碰到点电荷的情况，如果将点电荷q也 视为分布电荷时，就会出现一个特殊情况：在点电荷所在处， 其电荷体密度为无穷大，为奇异点。但是对点电荷的电荷密度 进行体积分时，去得到一个有限值q。 为了描述点电荷的这种特殊性质引入了Delta函数 函数的定义 对于单位点电荷，其位置为r’，则任一点（位置矢量为r） 的密度函数为： 表示体积分范围包含了单位点电荷所在的点。 函数的定义 同样对于电荷量为q的点电荷，其密度函数为： 函数，也称为冲激函数，在电子学中，Delta函数可以 描述这样一个脉冲，高度为无穷大，宽度为0，而脉冲面积为1，即 函数的有关性质 1. 函数的筛选性（抽样性） 若f(r)为连续函数，则有： 意义：这是对 的体积分，除了在点电荷所在处（r=r’的奇点） 积分值等于1之外，其余地方为0，因而对 进行体积分，就得到在奇点处该函数的值 。即把奇点处 的函数值 筛选出来。 函数的有关性质 缩放性 δ函数是一个偶分布 δ与x 的分布积等于零： 函数的有关性质 所以在整个积分区域内，其余部分为零，只有以场点(x,y,z)为球心， a为半径的小球体处才对积分有贡献，当 a 足够小时p(x’,y’, z’)可以用场点的p(x, y, z)来代替。 9. 电场能量 在线性介质中，外力做功的大小与电荷的建立方式无关，所以 上面两种移动方式做功相等，即W1=W2.在q1、q2构成的系统中 ，得到N=2系统的电场能量为： 9. 电场能量 如果在此系统中再将另一个点电荷q3由无穷远处移动到距离q1 为R13，距离q2为R23处，则移动电荷q3外力所作的功为： 表示由q1和q2在点电荷q3处产生的电位，于是N=3系统能量： 9. 电场能量 N=3系统能量： N=3系统时，q1处的电位 由点电荷q2和q3产生，其余类似。 9. 电场能量 N=3系统能量： 是除qi之外其他所在的电荷在qi处产生电位： 将上式扩展到N点电荷构成的系统： 9. 电场能量 此公式没有包含各个点电荷在自身形成所积累的能量。 已知孤立导体的电位 ? 等于携带的电量 Q 与电容 C 的之比， 即 求得电量为Q 的孤立带电体具有的能量为 或者为 已知带电体的电位随着电荷荷的逐渐增加而不断升高，可见电位是电量 q 的函数。 那么当电荷量增至最终值 Q 时，外力作的总功为 对于 n 个带电体，设每个带电体的电荷量均从零开始，且以同样的比例增长。若周围介质是线性的，则当各个带电体的电荷量增加一倍时，各个带电体的电位也升高一倍。 设第 i 个带电体的电位最终值为? i，电荷量最终值为 Qi ，若某一时刻第 i 个带电体的电荷量为 qi = ? Qi (? 1)，则电位为 当各个带电体的电量同时分别增至最终值 时，该系统的总电场能为 求得 那么当各个带电体的电荷量均以同一比例 ? 增长，外力必须作的功为 当带电体的电荷为连续的体分布、面分布或线分布电荷时，由 ，求得总能量为 式中，? (r) 为体元 dV、面元 dS、或线元 dl 所在处的电位；积分区域为电荷分布的整个空间。 从场的观点来看，静电场的能量分布在电场所占据的整个空间，应该计算静电场的能量分布密度。静电场的能量密度以小写英文字母 we 表示。 设两个导体携带的电荷量为Q1和 Q2，其表面积分别为 S1和 S2，如下所示。 S2 Q2 Q1 S1 V en en 已知电荷分布在导体的表面上，因此，该系统的总能量为 又知 ， 求得 S? 若在无限远处再作一个无限大的球面 S?，由于