定积分的计算法则和性质.PPT

定积分计算法则、性质 北京师范大学珠海分校 欧阳顺湘 2004.12.7-12.12 注：积分是一种求和 几何意义 如果由积分下限到积分上限移动的方向是使 x 减小的方向，则曲线下的面积看作是负的。 积分的绝对值不等式 注：积分是一种求和 积分中值定理 Mean Value Theorem for Integral 积分形式的中值定理 与此前的微分形式的中值定理相应 积分是一种求和 参考下面的思考题 The End 定积分计算法则、性质 北京师范大学珠海分校 欧阳顺湘 2004.12.7-12.12 定积分中值定理 描述连续函数的均值的性质 函数的均值是有限个数的均值的推广 从数的平均值到函数的均值 对于 n 个数 其平均值或算术平均值乃是 从数的平均值到函数的均值 现在要定义区间[a,b]上任意个数 x 所对应的值 f(x) 的平均值，自然的做法：先取有限个函数值，比如 求其平均值 在下式中 令 n 趋于无穷，取极限。 但这个极限取决于下面各数的取法 一个做法：将[a,b]等分为 n 个小区间，将分点作为求均值的 x_i, 则由 函数均值 [a,b]区间上函数 f 的平均值 函数均值的基本性质（已知） 连续函数的平均值属于这个函数的值域。 连续函数的平均值不会小于函数的最小值，也不会超过函数的最大值。 原因 证 由闭区间上连续函数的介值定理知 定积分中值定理 积分中值公式 定理7 使 即 积分中值公式的几何解释： * CopyLeft 声明：为传播数学，鼓励复制，发布，修改，但不得用于商业用途, 并禁止任何其它阻碍传播的行为 积分的基本法则 函数与常数乘积的积分 函数之和的积分 对积分区间的可加性 保号性 保序性 有界性 绝对值不等式 中值定理 函数与常数乘积的积分 证 定理1 函数之和的积分 证 （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 定理2 积分是线性的 对积分区间的可加性 积分的非负性 则 积分的非负性的几何意义 保序性 保序性的几何解释 有界性 即 由积分保序性 有界性－几何解释（1/5） 有界性－几何解释（2/5） 有界性－几何解释（3/5） 有界性－几何解释（4/5） 有界性－几何解释（5/5） 证 说明： 可积性是显然的. 积分的绝对值不等式 定理6 *