数学思想方法单元辅导1.doc

《数学思想方法》辅导数学思想与方法的两个源头学习要求 　　1．知道《几何原本》和《九章算术》形成的原因和基本内容； 　　2．理解《几何原本》和《九章算术》数学思想的特点和意义。 主要内容指导 　　一、《几何原本》思想方法的体例及特点 　　《几何原本》共有十三篇，第一篇到第四篇是关于平面几何一一直线形和圆的理论，第五篇是比例论，第六篇讲平面相似形，第七、八、九篇则阐述算术(数论)，第十篇是关于“不可通约量”的理论，第十一、十二、十三篇是关于立体几何的理论和“穷竭法”。从内容上来看，可以说，包括了当时希腊数学各个方面的成就。《几何原本》思想方法上的特点，可以表述如下。 　　（1）封闭的演绎体系 　　《几何原本》就是一个最早的标准的演绎体系：由少数不定义的概念，如点售线、平面等等，和不证明的命题——公理与公设——出发，在需要的地方，定义出相应的概念，按着一定的逻辑规则，演绎出所有其他命题来。在《几何原本》的演绎体系中，公理是最一般的命题，它们是一系列演绎推理的前提，这个体系的所有其他命题，都是从公理(通过适当的定义)推导出来的。除了推导所需要的逻辑规则外，《几何原本》的由一系列公理、定义、定理等构成的数学理论体系，原则上不必依赖于其他东西。当然，在实际上，《几何原本》在某些地方背离了这个原则：证明某些命题时运用了公理和逻辑规则之外的“直观”。但是，那只是个别的地方，并不影响体系的大局；而且，正是作为《几何原本》的“缺陷”而受到了人们的指责的，后来的人们按欧几里得的原意，不断地在体系中排除直观，得到更严格 的数学理论体系，其指导思想正是由《几何原本》开始的。由于《几何原本》的这种思想原则和结构方式，从实质上说，《几何原本》是一个比较完整的、相对封闭的数学理论体系。 　　（2）抽象化的内容 　　《几何原本》以及以它为代表的古希腊数学著述，都是论述一般的、抽象的数学概念和命题的，它们探讨的只是概念和命题的各种逻辑关系，由一些给定了的概念和命题推演出另一些概念和命题。它不考虑产生这些概念和命题的社会背景，也不研究这些数学“模型”所由之产生的那些现实原型。比如在《几何原本》中研究了“所有的”矩形(即抽象的“矩形”概念)的性质，但却不研究任何一个具体的矩形的实物的大小。又如在《几何原本》中，研究数的若干性质，但却一点也不涉及具体的数的计算和应用。它用线段表示数，即一般的、抽象的数，用演绎推理研究其性质。它排斥各种理论的实际应用，重视抽象理论、鄙视具体运用是《几何原本》的基本倾向。 　　（3）公理化的方法 　　作为现代数学的一种基本的表述方法和发展方式的公理法就是以欧几里得的《几何原本》开其端的。它采用了前面我们说的比较严格的演绎体系——通常称为公理体系，而建立公理体系的方法就称为公理方法。欧几里得的公理法对后世影响极大，《几何原本》作为公理法的典范对数学以及科学的发展起了很大的作用。现代数学和各门科学中的公理法正是由《几何原本》的公理法发展出来的。 　　作为现代数学的一种基本的表述方法和发展方式的公理法就是以欧几里得的《几何原本》开其端的。它采用了前面我们说的比较严格的演绎体系——通常称为公理体系，而建立公理体系的方法就称为公理方法。 　　《几何原本》13篇，共给出475个(有的版本是477个)命题，其中10个作为公理(原书分为5个“公理”，5个“公设”——公理是指在“所有”科学中都适用的而公设则仅适用于“几何学”，现代人们不加区别，一概称为公理)，其余465个命题都是由这些公理及有关概念的定义演绎推导出来的。在每一篇的开头都先给出本篇中所需要的概念的定义，共给出119个定义。其中除了“点”、“线”、“面”等应看作不定义的概念以及个别定义不确外，基本上都是符合逻辑上对定义的要求的。 　　从结构上来看，在第一篇开头给出了10个公理，这是对全书都有效的，然后给出23个定义，定义之后开始逐一引入和证明定理。定理的引入是有序的，因为在一个定理的证明中，允许采用的论据只有公理和前面已经证过的定理。以后各篇除了不再给出公理外也都照此办理，全书来看也符合这种有序性：后面各篇中可以利用前面各篇中的定义和定理作为证明的依据。除了个别定理的证明不够严格，例如利用了图形的直观等，还有个别证错的以外， 　　大部分证明从今天的观点来看也是正确的。 　　欧几里得的公理法对后世影响极大，《几何原本》作为公理法的典范对数学以及科学的发展起了很大的作用。现代数学和各门科学中的公理法正是由《几何原本》的公理法发展出来的。 　　二 《几何原本》的思想方法源远流长 　　《几何原本》可以说是古希腊数学思想的集中表现，它把古希腊数学的特点，数学思想方法的特点发扬光大了。考察古希腊数学思想的来源，则要追溯到古希腊人进入文明的自然历史条件。 　　希腊文明是一个海上文明，希腊半岛被海湾地峡和高