近世代数环的概念.ppt

数学与计算科学学院 第二章 环 论 目 录 §1 环的概念 §1 环的概念 §1 环的概念 §1 环的概念 §1 环的概念 §1 环的概念 §1 环的概念 §1 环的概念 §1 环的概念 §1 环的概念 §1 环的概念 §1 环的概念 §1 环的概念 §1 环的概念 §1 环的概念 *Company Logo * LOGO 多项式环 §2 环的概念 §1 理想与商环 §3 环的同态 §4 交换环 §5 整环的因子分解 §6 唯一分解环上的多项式环 §7 *Company Logo 定义1.1 设是一个非空集合,加法和乘法是上的两个代数运算.若和满足条件: (1)是一个交换群; (2)适合结合律; (3)对适合分配律,即 , ,, 则称是一个环;不致混淆时,简称是一个环. 一般地说,凡是数(无论是实数还是复数)集关于数的加法和乘法构成的环都称为数环. 显而易见,凡是数环都以数为其零元. 容易验证,,,和关于多项式的加法和乘法分别构成环,依次称为整系数一元多项式环,有理系数一元多项式环,实系数一元多项式环和复系数一元多项式环,也可以依次称为Z上的一元多项式环,Q上的一元多项式环,R上的一元多项式环和C上的一元多项式环. 容易验证,模剩余类的乘法适合结合律,并且对模剩余类的加法适合分配律.所以是一个环(称为模n剩余类环). 我们约定，今后凡是提到“环”，总是指模n剩余类环. 例3 设是一个正整数.我们已经知道,集合 关于模剩余类的加法构成一个交换群.下面进一步考察集合. 假设,并且,.于是,,.由等式 可知,,从而,.这样一来,我们可以定义 上的乘法(称为模n剩余类的乘法)如下: ,. 定义1.2 设是一个环. (1)若适合交换律,则称是交换环;否则,称是非交换环. (2)若存在,使得,,则称为环R的单位元,并称是有单位元(的)环. 显而易见,若环有单位元,则环只有一个单位元.我们约定,不致混淆时,将环的单位元记作. 注意 当环有单位元时,当且仅当.只有一个元素的环称为零环. 例1 容易验证,整数集关于整数的加法和乘法构成一个环(称为整数环).类似地,有理数集关于有理数的加法和乘法构成一个环(称为有理数环);实数集关于有理数的加法和乘法构成一个环(称为实数环);复数集关于有理数的加法和乘法构成一个环(称为复数环).此外,若令表示全体偶数构成的集合,则关于偶数的加法和乘法构成一个环(称为偶数环). 例2 设是正整数.令表示某个数域上的全体阶方阵构成的集合.显然,关于矩阵的加法和矩阵的乘法构成环(称为P上的n阶全阵环),其零元为零矩阵. 例6 在例1-4所提到的各个具体的环中,只有(其中)是非交换环;只有偶数环没有单位元. 命题1.3 设是一个环.那么, (1); (2); (3); (4),; (5),和为任意正整数; (6),为任意整数; (7)当是交换环时, ,为任意正整数. 这里,为环的零元,(无论是否带下标)和都是中任意元素. 证明 (1)由于,因此.同理可证,. (2)由于,因此.同理可证,. (3)根据(2),我们有 . (4)根据(2),我们有 . 同理可证, . (5-7)的证明留作练习.□ 作业 p36,第1-3题;第5-7题. 当是一个环时,我们就称关于和构成一个环;群称为环R的加群,其零元又称为环R的零元,不致混淆时记作. 当是环的零元时,我们当然有,;特别地,我们有,其中第一个表示整数零,后两个表示环的零元 本章简略地介绍一下环论. 在正式表述环的定义时,我们要用到交换群的概念.这里先就交换群作一点补充说明. 设是一个交换群.我们定义上的除法如下: ,. 显而易见,对于任意的,我们有 . 因此我们称除法是乘法的逆运算. 如果将一个交换群的代数运算叫做加法,并记作,那么习惯上要对术语和记号作相应调整: 设是一个交换群.我们定义上的减法如下: ,. 显而易见,对于任意的,我们有 . 因此我们称减法是加法的逆运算. 例4 令,,和依次表示全体整系数一元多项式,全体有理系数一元多项式,全体实系数一元多项式和全体复系数一元多项式分别构成的集合. 例5 设是一个交换群.定义上的乘法如下: ,. 则是一个环.这样的环称为零乘环. 以下,如无具体说明,凡是提到“环”,总是指“环”,其零元记作.在对环中的元素施行乘法运算的过程中,常常略去乘号;与对待数的加法和乘法一样,我们有“先乘后加”的约定,例如,等式可以写成 ; 对于任意的,将简写成.此外,由于环的乘法适合结合律,因此对于任意的和任意的正整数,有意义(参看第一章§1).