近世代数群的概念.ppt

§1.2 群的概念 群的定义 群的性质 群的判别 又如果一个群的群表是对称的，则可以肯定，这个 群一定是交换群． 二．群的性质 定理1.2.1　设 为群，则有 (1) 群 的单位元是惟一的； (2) 群 的每个元素的逆元是惟一的； (3) 对任意的 ，有 ； (4) 对任意的 ，有 ； (5) 在群中消去律成立，即设 ， 如果 ，或 ，则 ． 证　(1) 如果 都是 的单位元，则 　　（因为 是 的单位元）， 因此 所以单位元是惟一的． (2) 设 都是 的逆元，则 （因为 是 的单位元）， 于是 所以 的逆元是惟一的． (3) 因为 是 的逆元，所以 从而由逆元的定义知， 是 的逆元．又由逆元的 惟一性得 (4) 直接计算可得 及 从而由逆元的惟一性得 (5) 如果 ，则 同理可证另一消去律．　　　　　　　　　□ 定理1.2.2　设 是群，那么对任意的 ， 方程 及　 在 中都有惟一解． 证　取 ，则 所以方程 有解 又如 为方程 的任一解，即 则 这就证明了惟一性． 同理可证另一方程也有惟一解．　　　　　　□　 指数与指数法则 积与运算的顺序无关，因此可以简单地写成 群的定义中的结合律表明，群中 三个元素的乘 进一步可知，在群 中，任意 个元素 的乘积与运算的顺序无关，因此可以写成 . 据此, 我们可以定义群的元素的方幂 对任意的正整数 ，定义 再约定 （ 为正整数） 则 对任意整数都有意义，并且不难证明： 对任意的 有下列的指数法则 (1) ； (2) (3) 如果 是交换群，则 （如果 不是交换群，一般不成立）． 当 是加群时, 元素的方幂则应改写为倍数 相应地, 指数法则变为倍数法则： (1) (2) (3) （因为加群是交换群，所以（3）对加群总是成立的）． 定理1.2.3　设 是一个具有代数运算的非空 集合， 则 关于所给的运算构成群的充分必要条件是 三．群的判别 (1) 的运算满足结合律； (2) 中有一个元素 （称为 的左单位元）,使对 任意的 有 (3) 对 的每一个元素 ，存在 （称为 的 左逆元），使 ．这里 是 的左单位元． 证　必要性　由群的定义，这是显然的． 充分性　只需证: 是 的单位元,， 是 的． 逆元即可． 设 由条件(3)知，存在 使 而对于 也存在 使 于是 且 进而由条件（1）知， 为群． □ 由条件(2)及式(3)知，是 的单位元． 是 的逆元， 注　这个定理说明，一个具有乘法运算的非空 集合 ，只要满足结合律，有左单位元，每个元素 有左逆元，就构成一个群． 同理可证，一个具有乘法运算的非空集合 ，如 果满足结合律，有右单位元，且 中每个元素有 右逆元，则 构成群 定理1.2.4　设 是一个具有乘法运算且满足结 合律的非空集合，则 构成群的充分必要条件是： 对任意的 方程 及 在 中有解. 证　必要性　已证（见定理1.2.2）． 充分性　任取 ，由条件知， 有解， 设为 ，则 .又对任意的 ， 有解,设为 设为 ．于是 从而知 是 的左单位元． 其次，对每个 ， 有解，设为 .于是