选修二面角及其度量.ppt

第*页 课标B版 · 数学 · 选修2-1 第三章　空间向量与立体几何 自主预习 与名师对话·系列丛书 第*页 要点导学 课时作业 课标B版 · 数学 · 选修2-1 第三章 3.2 3.2.4 第三章 第*页 课标B版 · 数学 · 选修2-1 第三章　空间向量与立体几何 自主预习 与名师对话·系列丛书 第*页 要点导学 课时作业 课标B版 · 数学 · 选修2-1 第三章 3.2 3.2.4 空间向量与立体几何3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.4 二面角及其度量 自 主 预 习 学习目标 目标解读 　　1.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角． 2．掌握求二面角的基本方法、步骤. 　　1.掌握二面角的概念、二面角的平面角定义，会找出一些简单图形中的二面角的平面角．(重点) 2．掌握求二面角的基本方法和步骤，会求二面角的大小．(难点) 1．二面角的概念 知识梳理 (1)二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角．如图所示，其中，直线l叫做二面角的，每个半平面叫做二面角的，如图中的α，β. (2)二面角的记法：棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作α－l－β.如图，Aα，Bβ，二面角也可以记作A－l－B. 两个半平面 棱 面 (3)二面角的平面角：在二面角α－l－β的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OAl，OBl，则AOB叫做二面角α－l－β的平面角，如图所示，由等角定理知，这个平面角与点O在l上的位置无关． (4)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角． (5)二面角的范围是[0°，180°]． 问题探究1：如何理解二面角的平面角？ 提示：二面角的平面角必须具备三个条件： (1)二面角的平面角的顶点在二面角的棱上； (2)二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内； (3)二面角的平面角的两条边都与棱垂直，且平面角的大小与平面角在棱上的位置无关． 2．用向量的夹角度量二面角 (1)如图，分别在二面角α－l－β的面α、β内，并沿α、β延伸的方向，作向量n1l，n2l，则等于该二面角的平面角． (2)如图，设m1α，m2β，则〈m1，m2〉与该二面角 〈n1，n2〉 相等或互补． 问题探究2：如何找二面角的平面角？ 提示：(1)定义法 由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识． (2)垂面法 作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角． (3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致． 要 点 导 学 所谓定义法，就是在二面角的棱上取一适当点作出平面角(或者找一个与棱垂直的平面和两面的交线构成的角)，然后解三角形即可． 要点用定义法求二面角 如图，四边形ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角A－VB－C的大小． 【思路启迪】　(1)二面角的定义是什么？ (2)作二面角的平面角有几种方法？ 【解】　取VB的中点为E，连接AE，CE. VA＝AB＝BC＝VC， AE⊥VB，CEVB. ∴∠AEC是二面角A－VB－C的平面角． 设AB＝a，连接AC，在AEC中， AE＝EC＝a，AC＝，由余弦定理可知： cosAEC＝＝－， 所求二面角A－VB－C的大小为π－arccos . 利用定义法求二面角的过程要体现一作、二证、三计算，即首先作出二面角的平面角，然后证明(或说明)所作角为什么是二面角的平面角，最后再计算出二面角的平面角的大小． 如图，在四面体P－ABC中，PC平面ABC，AB＝BC＝AC＝PC，求二面角B－AP－C的大小． 解：如图，过B作BMAC于M，过M作MNAP于N，连接BN，由三垂线定理知：BNPA. ∴∠MNB为所求二面角的平面角， 设AB＝BC＝AC＝PC＝1， BM＝，MN＝， tan∠MNB＝＝. 故MNB＝arctan，即所求二面角B－AP－C的大小为arctan. 向量法求二面角有如下方法： (1)可以在两个半平面内作垂直于棱的向量，转化为这两个向量的夹角，但需注意两个向量的起点应始终在二面角的棱上． (2)建空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量m，n，根据cos θ＝求得锐角θ，若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ. 要点用向量法求二面角 如图所示，在底面为直角梯形的四棱锥S－ABCD中，ABC＝90°，SA平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求平面SCD与平面SAB所成二面角α的正切值． 【思路启迪】　(1)两