第二章学案2 数列的递推公式.ppt

一样的软件 不一样的感觉 一样的教室 不一样的心情 一样的知识 不一样的收获 开始 学案2 数列的递推公式 （选学） 学点一 学点二 返回目录 如果已知数列的第1项（或前几项），且 . 的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法. 从第二项(或某 一项)开始的任一项an与它的一项an-1(或前几项)间 返回目录 学点一 命题的判断 【分析】数列是用递推公式给出的，已知a1就可以 递推出a2，…，依此类推，就可求出其任一项. 已知数列{an}分别满足下列，写出它的前5项，并归纳出各数列的一个通项公式. （1）a1=0，an+1=an+(2n-1)； （2）a1=1，an+1= ； （3）已知a1=1，a1a2…an=n2. 返回目录 【解析】（1）因为a1=0,an+1=an+(2n-1)， 所以a2=a1+(2×1-1)=1， a3=a2+(2×2-1)=4， 　　a4=a3+(2×3-1)=9， 　　a5=a4+(2×4-1)=16. 　　所以它的前5项为0，1，4，9，16，此数列又可写成（1-1）2，（2-1）2，（3-1）2,(4-1)2，（5-1）2，…. 　　故该数列的一个通项公式为an=(n-1)2. 返回目录 返回目录 【评析】(1)根据数列的递推公式写出数列的前5项是考纲的基本要求.归纳、猜想数列的通项公式可锻炼同学们的观察能力与推理能力. 　　(2)已知数列的递推公式求通项公式，此类题型求数列通项公式的方法大致公两类：一类是根据前几项的特点归纳猜想出an的表达式,然后用数学归纳法证明(后面学)；另一类是将已知递推关系，用累项相加（乘）法、迭代法、换无法转化为基本数列求通项. 返回目录 已知an=an-1+ (n≥2),a1=1. （1）写出数列的前5项； （2）由（1）中的前5项,猜测数列的通项公式并进行验证. 解： 返回目录 返回目录 学点二 数列递推公式的应用 已知数列{an}满足an+1=　　　　，a1=2，求an. 【分析】依据已知数列的递推关系适当地进行变形，可寻找数列的通项的差an-an-1或通项的商　　的规律. 【解析】 返回目录 返回目录 设数列{an}是首项为1的正项数列，且(n+1)a2n+1-na2n+an+1an =0(n∈N+)，求它的通项公式. 解： 返回目录 返回目录 返回目录 1.如何理解数列的递推公式? 　　（1）递推公式是给出数列的一种重要形式，并不是所有的数列都有递推公式，递推公式可用于求数列中的各项. 　　（2）递推公式与通项公式的区别与联系： 由前一项（或前几项）的值，通过一次（或多次）运算，逐项求出第n项an 递推公式 可确定一个数列，求出数列中的任意一项 给出n的值，可求出数列中的第n项an 通项公式 相　同　点 不　同　点 类　　　　别 返回目录 　　（3）　　　　　这样的公式不是递推公式.因为数列{bn}是由数列{an}中的项，通过公式　　　　　构造出来的，不是由数列{bn}中的项经过递推构造出来的.如果改成　　 　　　　　并给出数列{bn}的第1项，第2项，那么就是递推公式了. 　　（4）由数列的递推公式不一定能求出数列的通项公式. 返回目录 　　1.数列的递推公式是已知数列的第一项（或前几项），利用其任意一项an和其前一项an-1（或前几项）来给出数列的一种方法，可由递推公式求出数列的每一项. 　　2.已知数列的递推公式求通项公式，此类题型求数列通项公式方法大致分两类：一类是根据前几项的特点归纳猜想出an的表达式，然后用数学归纳法证明（后面学）；另一类是将已知递推关系，用累项相加（乘）法、迭代法、换元法或转化为基本数列（后面学）等方法求通项. 返回目录 　　3.对于等差数列{an}，当d≠0时，讨论其最大值与最小值，可以借助一次函数的单调性得以解决. 　　4.三个数成等差数列，根据对称性特点一般可设为a-d,a,a+d.若四个数成等差数列，一般可设为a-3d,a-d,a+d, a+3d.