美国高中数学测验AMC12之机率问题（下）.PDF

數學傳播 36 卷 1期, pp. 64-83 美國高中數學測驗 AMC 12 之機率問題(下) 洪偉誠 李俊賢 蔡誠祐 何家興 張福春 4. 幾何機率 前述兩節的問題皆建立在樣本點個數為可數時的情況, 接下來將介紹一不可數的無窮樣本 空間 S 且利用此空間的一些幾何測量 m(S), 例如長度、 面積、 或者體積, 來求 A 事件的機 率。 而 A 事件的機率可用 A 事件之幾何測量與樣本空間 S 之幾何測量的比例來計算, 其形式 有下列三種: A 的長度 A 的面積 A 的體積 P (A) = 或 P (A) = 或 P (A) = S 的長度 S 的面積 S 的體積 註: 我們必須假設一不可數無窮樣本空間 S 滿足均勻性質, 這樣才能做以上的幾何機率。 4.1. 幾何測量—長度 所謂長度的幾何測量, 表示其無窮樣本空間可用一線段、 數線或是時間軸 等表示, 則考 慮某事件的機率時, 只需探討此事件所佔的線段 (或數線) 與樣本空間相對的長度比值即可, 下 列為利用長度測量來求的機率問題。 例 1. (1972 AMC 12 #17) 隨機將一條線切為兩段, 試問較長的一段至少是較短的一段的 x 倍 (其中 x 1) 的機率為多少? 1 2 1 1 2 (A) (B) (C) (D) (E) 2 x x + 1 x x + 1 解:(E) 假設線段 AB 被切為兩段, 若較長一段 (標記為 , 長度為 sx) 為較短一段 (標記為 1 , 長度為 s) 的 x 倍, 則線段 AB 總長度為 (x + 1)s, 因此切點會落於 中的機率為 1 。 2 2 x+1 64 美國高中數學測驗AMC 12之機率問題 (下) 65 但因線段的切法可能為 ( , ) 或是 ( , ) 兩種情況, 如下圖 1 2 2 1 1 2 或 2 1 故所求機率為 2 。 x+1 例 2. (2007 AMC 12B #13) 有一交通號誌以下列的循環重複的運作: 綠燈 30 秒, 然後 黃燈 3 秒, 之後再轉紅燈 30 秒。 利亞隨機挑選三秒鐘的區間去注視號誌燈, 試問號誌燈在 轉換顏色時, 利亞正在注視的機率為多少? 1 1 1 1 1 (A) (B) (C) (D) (E) 63 21 10 7 3 解:(D) 由題意知, 交通號誌運作一循環需時 63 秒, 而若利亞所注視的時間在當綠燈轉變為黃 燈、 黃燈轉變為紅燈或紅燈轉變為綠燈的前三秒鐘內, 則利亞會看到號誌顏色正在轉變, 如下圖 所示 故所求機率為 3 + 3 + 3 9 1