适合度检定卡方分布之自由度GoodnessofFitTest.PDF

適合度檢定：卡方分布之自由度 Goodness of Fit Test: the degrees of freedom of a chi-square distribution 王俊毅 生物統計中心 助理教授 類別資料 （categorical data ）和間斷型資料 （discrete data ）是醫護、健康領 域中相當常見的資料型態。分析這類資料的方法，除了建立統計模型外，最常見 的無母數統計方法應屬 卡方檢定 （the chi-square test ）。當樣本依其分類建立列 聯表後，卡方檢定便可用來檢定因子間的相關性 （association ）或不同群體間的 同質性 （homogeneity ）。此外，卡方分布亦可用來做適合度檢定 （goodness-of-fit test ），以驗證理論分布是否正確。雖然卡方檢定對許多人而言是簡易的統計方 法，然而，分析人員卻常在檢定某分布的適合度時，對卡分分布的自由度感到困 惑。以下將簡述卡方檢定的形式，並舉例說明卡方分布自由度 之設定原則。 檢定統計量 欲比較樣本之觀察次數和其理論分布是否相符，例如，想瞭解某一筆資料是 O 否來自二項分布、多項方布、常態分布等，便可應用卡方檢定來進行驗證。令 i E i 和 分別表示第i 類的觀察個數 （樣本）和期望個數 （群體 ），則卡方檢定定義 為: 2 k O E 2 i i   i 1 Ei 。 直覺上，若樣本確實來自該一理論分布，其觀察次數和期望個數應相差無幾， 2 2   這會使得 的值很小。反之，若 的值很大，則代表該樣本所對應的群體分布 並不如期望。 應用模型 中國醫藥大學 生物統計中心 以卡方檢定進行分布適合度的驗證相當簡單，但其分布自由度重要性卻常被 k 忽略。一般初學者常誤以為：群體可分為 類，則檢定適合度的卡方分布自由度 為 k 1 。事實上，卡方檢定在此應用中可區分為二種變化型。一為外部模型 （extrinsic model ），檢定時不須額外估計群體參數。若檢定時至少有一個群體 參數是未知而須被估計，則屬於內部模型 （intrinsic model ）。 舉例而言，檢定一顆骰子是否公正，群體參數p 1 p 2 ... p 6 1 6 （出現 點數 1, 2, ..., 6的機率 ）並不須估計，因此若投擲100 次中觀察資料如下 點數 1 2 3 4 5 6 觀察次數 13 18 16 21 17 15 則 2 6 (O E )2 (13 16.67)2 (15 16.67)2   i i  =2.24 i 1 Ei 16.67 16.67 .