非欧几何讲稿.PDF

數學傳播 39卷 3期, pp. 13-29 非歐幾何講稿 張海潮 前言 2014年春季, 洪萬生教授推薦我到李國鼎基金會為高中生講授 「非歐幾何」。 為了讓高中 生理解數學史上這一頁輝煌的成就, 我盡量以簡馭繁, 寫就這一個講稿。 講授過程中, 我的學生 周哲偉 自願擔任助教, 並協助打字及校對, 出了許多力氣, 在此致謝。 本課程共分五節。 第一節回顧歐氏幾何的公設, 特別是平行公設; 第二節暫不考慮平行公 設來指出非歐幾何的必要性; 第三節討論對圓的鏡射, 作為非歐運動的基石; 第四節定出在非歐 運動之下的不變距離; 第五節是一個簡要的結論。 希望這份講稿能夠幫助願意在高中或大學開非歐幾何選修課的老師。 第一節 : 回顧 眾所周知, 歐幾里得 《幾何原本》 是以五條公設 (postulate) 作為演繹後續幾何命題的基 礎。 這五條公設分別是 : (一) 兩點決定 (唯一的) 一條直線。1 (二) 線段可以延長。 (三) 以任意點為圓心, 任意長為半徑, 可以作一圓。 (四) 凡直角皆相等。2 (五) 平行公設 : 過線外一點, 恰有唯一的一條平行線。3 歷史上對這五條公設的檢討大致有兩個面向 : 第一是以為第五公設可以從前面四個公設 1《原本》 中並沒有明言唯一性, 但是在證明第一章命題 4 的 S.A.S 全等形判定時, 歐幾里得使用了唯一性。 這表示歐幾里得的原意是 指兩點只能決定唯一的一條直線。 2 《原本》 對於直角的定義是 : 兩直線相交時, 如果交出的角都相等, 則每一個角都稱為直角。 3 《原本》 原來對此一公設的敘述比較複雜, 現在一般教科書多半採用本文的敘述方式。 13 14 數學傳播 39卷 3期 民 104年 9 月 推論而出, 但是這個希望被 19 世紀的數學家 Bolyai 和 Lobachevsky 粉碎, 他們發現了一種 新的幾何, 滿足公設 (一) 到 (四), 但是過線外一點, 可以有多於一條的平行線。4 Bolyai 和 Lobachevsky 所發現的 「新」 幾何正是所謂的非歐幾何。 第二是認為這些公設不夠基本, 需要進一步把許多概念講清楚。 例如在第一章命題 4 證明 S.A.S 全等判定時, 已知三角形 ABC 和三角形 DEF 之間有 AB = DE、 ∠A = ∠D、 AC = DF , 如圖一 : 圖 1: 歐幾里得的證法是先平移三角形 ABC 使 A 和 D 重合, 之後再利用對 A 點的旋轉, 轉動 AB 與 DE 重合。 A 與 D、 B 與 E 以及 AB 與 DE 重合之後, 如圖一的情形, 利用 ∠A = ∠D 證明 AC 與 DF 重合。5 既然 A 與 D、 B 與 E、 C 與 F 均已重合, 即可由公設一的唯一性證明兩三角形已完全 重合, 是為全等。 不過, 歐幾里得忽略了另外一種可能的配置, 如圖二 : 在此圖的情形, 當 AB 與 DE 重 圖 2: 合之後, DF 和 AC 分據 AB (DE) 之兩側, 因此下一步必須將圖形對 AB 鏡射, 才能將 AC 重合到 DF 。6 在上面這段證明中, 用到的基本概念包括點、 線、 線段、 三角形、 角度、 線段之等長, 角與 角之相等、 平移、 旋轉、 鏡射, 乃至兩點決定唯一的直線或線段, 似乎過於依賴幾何直覺, 因而 引起 「公設派」 的質疑。 4在這個幾何模型中, 還可以從存在兩條平行線出發, 證明過線外一點, 會有無窮多條平行線 (例如, 過同一點而介於已經存在的二條平行 線之間的所有直線)。 5或謂可將圖形對 AD 的中垂線鏡射, 而將 ABC 鏡射到使 A、D 重合。 如此可避免用平行公設來平移。 但是中垂線的存在, 需 賴 S.S.S 判定, S.S.S 判定又需 S.A.S 判定才能證明。 6《原本》 第一章命題 4 只有圖一, 歐幾里得一開始就假設 A、B、C 的旋轉方向和 D、