17重积分—— 三重积分的变量代换.pptVIP

* 三重积分的变量代换 柱面坐标系下的三重积分的计算法 设M(x,y,z)为空间内一点 一、柱面坐标 并设点M(x,y,z)在xoy面上的投影P的极坐标为(r,?,0)。 这样的三个数r,?,z 就叫做点M的柱面坐标。 x y z o r z x y M(x,y,z) 0 ? r +∞ ， 0 ? ? ? 2π， －∞ z +∞ x y z o r z x y M(x,y,z) ②三组坐标面分别为 r ＝常数，即以z 轴为轴的圆柱面； ? ＝常数，即过z 轴的半平面； z＝常数，即与xoy面平行的平面； ①规定r、? 、z的变化范围为： ③点M的直角坐标与柱面坐标的关系为： x y z o r z x y M(x,y,z) ④柱面坐标系中的体积元素 dr dz x y z o d? rd? r 事实上， 二、柱面坐标中三重积分的形式 y x z o 1 a o 1 x y 柱面坐标变换 截面法 解法三 投影法 再用极坐标变换 何时选用柱面坐标计算三重积分？ 三重积分的变量代换 球面坐标系下的三重积分的计算法 一、球面坐标 M(x,y,z) P(x,y,0) x y z r ? M(r,?,?) x y z o M(x,y,z) P(x,y,0) x y z r ? M(r,?,?) x y z o r =常数，即以原点为心的球面。 ? =常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面。 ? =常数，即过z轴的半平面。 z M(x,y,z) P(x,y,0) x y z r ? M(r,?,?) x y o z M(x,y,z) P(x,y,0) x y z r ? M(r,?,?) x y o ④球面坐标下的体积元素 为了把三重积分中的变量从直角坐标变换为球面坐标，用三组坐标平面 r = 常数，? =常数， ? =常数把积分区域 ? 分成许多小闭区域。 考虑由 r,? ,? 各取得微小增量 dr,d?,d? 所成的六面体的体积(如图)。不计高阶无穷小，可把这个六面体看作长方形。 x y z o ? d? rd? dr r d? x y z o ? d? rd? r d? 经线方向的长为 rd?, 这就是球面坐标系中的体积元素。 纬线方向的宽为 rsin?d?, 于是，小六面体的体积为 dr 向径方向的高为 dr。 事实上， 二、三重积分的球面坐标形式 计算三重积分，一般是化为先 r，再 ?，最后?的三次积分。 例如，半径为 R 的球体的体积 x y z 2R o R ? ? x y z o ? ? ? z x y o 1 ? x y z o ? ?