632 割线法与抛物线法.pptVIP

第六章非线性方程组的迭代解法 6.3.2 割线法与抛物线法 6.3.1 Newton迭代法 6.3 一元方程的常用迭代法 　　设x*是方程f(x)=0的实根， 是 　 一个近似根，用Taylor展开式有 这里假设　　　存在并连续。若　　　　　，可得 （6.3.1） 其中 　。若（6.3.1）的右端最后一项忽略不记，作为x*新的一个近似值，就有 ，k=0,1,…， （6.3.2） 这就是Newton迭代法。 6.3.1 Newton迭代法 对（6.3.2）可作如下的几何解释： 为函数f(x)在点 处的切线与横坐标轴的交点,见图6-3.因此Newton迭代法也称为切线法. Y 0 y=f(x) X 将(6.3.2)写成一般的不动点迭代(6.2.3)的形式,有 所以有 Newton迭代法是超线性收敛的。更准确地,从(6.3.1)和(6.3.2)可得下面的定理. 　　定理6.5 , 且f(x)在包含x*的一个区间上有二阶连续导数,则Newton迭代法（6.3.2）至少二阶收敛，并且 　　以上讨论的是Newton法的局部收敛性。对于某些非线性方程，Newton法具有全局收敛性。 　　例6.8 设a0,对方程 -a=0试证:取任何初值 　0，Newton迭代法都收敛到算术根 。 由此可知 证 对f(x)= -a, Newton迭代法为 设x*是f(x)=0的m重根,　　　，即 　　在定理6.5中,要求f(x*)=0 , 即 是方程的单根时,Newton法至少具有二阶局部收敛性。下面讨论重根的情形. 可见,对于任何 0,都有 ,并且{ }非增.因此{ }是有下界的非增序列,从而有极限x*.对（6.3.3）的两边取极限,得到 -a=0,因为 0,故有x*= 。 由Newton迭代函数 的导数表达式,容易求出 从而， 。因此只要 ，这时的Newton迭代法线性收敛。 　　为了改善重根时Newton法的收敛性，有如下两种方法。 若改为取 容易验证 。 迭代至少二阶收敛. 若令 　　　　　　　　　,由x*是f(x)的m重零点，有 例6.9 方程 的根 是二重根.用三种方法求解. 解 (1)用Newton法有 这种方法也是至少二阶收敛的. 所以，x*是 的单零点.可将Newton法的迭代函数修改为 (2)由(6.3.4),m=2迭代公式为 (3) 由(6.3.5)确定的修改方法，迭代公式化简为 三种方法均取 =1.5,计算结果列于表6-7.方法（2）和方法(3)都是二阶方法， 都达到了误差限为 的精确度,而普通的Newton法是一阶的,要近30次迭代才有相同精度的结果. 方法(1) 1.5 1.458333333 1.436607143 1.425497619 方法(2) 1.5 1.416666667 1.414215686 1.414213562 方法(3) 1.5 1.411764706 1.414211438 1.414213562 　Xk X0 X1 X2 X3 表6-7 　　Newton法的每步计算都要求提供函数的导数值，当函数f(x) 比较复杂时，提供它的导数值往往是有困难的。此时，在Newton迭代法（6.3.2）中，可用 或常数D取代 迭代式变为 或 这称为简化Newton法。其迭代函数为 简化Newton法一般为线性收