定积分的简化计算.pdfVIP

高等数学研究 Vo1．11，No．6 5O STUDIESIN C()LIEGEMATHEMATICS NOV．，2008 定积分韵简化计算 李志飞 (西安建筑科技大学理学院 西安 710055) 摘 要 通过改变被积函数形式实现定积分计算简化。即通过变量代换，将对被积函数为，()的定积分转化 为对被积函数为 ，(．z)+f(a+b—z)的定积分．从而使得一些定积分的计算过程得 以简化，并给出几种推广形式． 关键词 定积分 ；积分变换 ；奇偶性 中图 号 O172．2 由于定积分计算难易程度主要取决于被积函数的形式，所以，通过改变被积函数的形式求定积 分的值，这是在定积分计算中常用的方法，如变量替换法、分部积分法等．本文介绍在定积分计算中 一 种积分变换的方法及其推广形式． rb ’ rb 定理 设 ()在a，6]上连续，则有lf(x)dx=百1l[厂()+，(n+b— )]如． Jd Ja 证明 令 一日+b一￡，则 rlf(x)dx=广If(a+b一￡)(一d￡)一rI6f(a+b—t)dt ， J 口 J J 广6 1 广^ lf(x)dx一÷}[(z)+f(a+b—x)]dx． 例1计算I：f暑— J0 slnx 十 COSX 号 解 因为 ()+厂(号一)=l，所以，1=2Jf出=寻． o 例 2 计算I—Jl^ d． 0 l十 COS。 解 f(x+厂c一，一 +E} =1+7rSclnl ’ 一 dx-．m号arctan(cosx)IS=． 例3 计算I—JI dx． 0e 十 e。 。 解 f(x)+ 一z)= ， J=吾 刍dz— de=÷arctanej2。=1e(arctane--arctane-~． 总之，当厂()+f(a+b— )一^()的不定积分易求时，即可应用上述变换公式求积分． 推论 1 设厂()在[一n，n]上连续，则有 lf(x)dx=÷lIf(x)+f(-x)]dx． * 收稿 日期l2008—02—14． 第 1l卷第6期 李志飞：定积分的简化计算 51 特别地，当厂()在[一口，]“为奇函数时，J()d=o． 推论 1为在对称区间上奇函数积分的一种推广形式． r1 例4 计算l— Ixln(1+e)dx． J一 1 解 厂()+ (一 )= xln(1+e)+ (一 )ln(1+e一)= ， 一 号 d=÷。