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数学物理方法课件(北师大版)2
第二章复变函数的积分
• §2.1 复变函数的积分
• §2.2 柯西定理
• §2.3 原函数与不定积分
• §2.4 柯西积分公式
§2.1 复变函数的积分
（一）积分的定义：
设C是z平面上一分段光滑的曲线，
函数f(z)在C上定义。
在曲线上从起点到终点取一系列的点，
z ,z ,…,z ，曲线被分割成许多小段。
1 2 n
在每一小段[z ,z ]上任取一点ξ ，
k-1 k k
求和：
n 不是线段
f( )(z z ),
j k k1 的长度！
k 1
n
然后取极限： f(z)dz f( )(z z )
lim j j j1
C n j 1
（二）积分的性质：
1. 复变函数的积分一般与路径有关，因此称作路径积分；
2. 积分性质：
[Af(z) Bg(z)]dz A f(z)dz B g(z)dz
C C C
f(z)dz f(z)dz f(z)dz
C C C C
1 2 1 2
f(z)dz f(z)dz, 其中C 是C的逆向
C C
| f(z)dz | |f(z) ||dz |
C C
| f (z )dz |M, 其中M max | f (z ) |, 为C的长度
C
（三）路积分的计算方法：
1. 归为二元实函数的积分来计算，计算公式为：
f(z)dz [u(x,y)dx v(x,y)dy] i[v(x,y)dx u(x,y)]dy
C C C
2. 参数方程的表达形式C：z=z(t)
f(z)dz f[z(t)]z (t)dt
C
例1. 计算积分：p24 y
C2
i 1+i
Re zdz , Re zdz .
C1 C2 C2 C1
C , C 分
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