一道高考题探究性学习.doc

一道高考题的探究性学习 姜 军 探究性学习能否富有成效地开展，一个很重要的原因是选取适宜的探究问题.正如前苏联数学家奥加涅相说过“很多习题潜在着进一步扩展其数学功能和教育功能的可行性.”高考题源于课本,立足基础,考查能力,是开展探究性学习的极佳素材.下面以一道高考题为例,把课本知识自然延伸,适当拓宽,培养学生的探索精神,提高学生的创新能力. 1 问题引入,诱导发现 题目 (2007年高考江西卷文科第8题）若，则下列命题正确的是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解答本题方法较多,如图象法、特殊值法、导数法等，一般学生都能得到答案选B.但本题实质上反映的是函数在区间上的取值范围问题,有必要对函数的性质作进一步的探究. 2 深入探究,揭示性质 性质1 函数在区间上单调递减. 证明:由已知得令 由，可得在区间上单调递减. 在区间上单调递减. 性质2 函数在定义域上是偶函数. 证明:设,则有 函数在定义域上是偶函数. 性质3 函数在区间上为凸函数. 证明:由题意得 令 在区间上单调递增. 于是得函数在区间上为凸函数. 性质4 证明:略. 有兴趣的读者可以参考刘玉琏、傅沛仁主编的《数学分析讲义》(上册)第三版第页的证明，也可由洛必达法则直接求得. 3 变式化归,尝试应用 例1 (2007年高考江西卷理科第5题)若，则下列命题中正确的是A． B． C． D． ,.由性质1知在区间上单调递减,且;又在区间上单调递增,且,故答案选D. 例2 (2008年高考全国卷Ⅱ第22题)设函数． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围． 解：（Ⅰ）由题意易得：在每一个区间（）是增函数，在每一个区间（）是减函数． （Ⅱ）由（Ⅰ）及函数是以为最小正周期的周期函数，于是有：恒成立恒成立恒成立. 由性质4可令,,恒成立,即恒成立,根据性质1、性质3作出、的图象，由图象可知只需，即，解得故的取值范围是. 4 引申拓展,提高能力 例3 如果对任意一个三角形,只要它的三边长都在函数的定义域内,就有也是某个三角形的三边长,则称为“保三角形函数”．试证明函数是保三角形函数. 证明:设是某三角形的三边且,则,故只要证明. （1）若,结论显然成立. （2）若不全相等,则,,又 ,由性质1知函数在区间上单调递减, , ,即,,,故函数是保三角形函数. 由上面证明过程,可得如下命题: 命题1:设是上的可导函数, 是上的减函数,则对任给的,不等式成立. 证明: 是上的减函数，于是 ，. 命题2:设集合,是定义在上的可导增函数,且恒为正, 是上的减函数,则是定义在上的保三角形函数. 证明: 设,是某三角形三边,不妨设则且 若,结论显然成立. 若不全相等,则,,由命题1得, ,又,是某三角形三边,命题得证. 参考文献: [1] 蒋晖.函数的性质及应用.福建中学数学,2009(2). [2] 陈勇军,陈颖.一道调研试题的别解、变题及其背景.中学数学教学,2009(3).