用放缩法证明数列不等式的几种类型与途径.doc

用放缩法证明数列不等式的几种类型和途径 不等式的证明,尤其是使用放缩法证明不等式,很多学生觉得无从下手,老师也觉得教学效果不理想.这里仅就用放缩法证明数列不等式谈谈自己的看法,不妥之处请同行指教. 根据建构主义的观点,学生在学习时可将知识分成若干模块,再对若干模块进行学习,经过同化和顺应,将知识变成自己的一部分. 常见的放缩方法有:增加(减少)某些项,增大(减少)分子(分母),增大(减小)被开方数,增大(减小)底数(指数),利用二项式定理,利用不等式的性质或重要不等式,利用函数的性质等. 对于“和式”数列不等式,若能够直接求和，则考虑先求和，再证不等式；若不能或甚难求和，则可考虑使用放缩法证明不等式. 而对于“和式”数列不等式,放缩的最主要目的是通过放缩,把原数列变为可求和、易求和的数列. 下面根据实施的途径分为以下五类进行讨论: 途径1:放缩为类. 例1.求证： 证明： 注1：此题若放缩为,则可证明. 注2：⑴此类型的实质就是通过放缩把原数列变成可以用“裂项法”求和的新数列，下面的几个例子并不一定是放缩为. ⑵此类型的特征是：通项的结构常与正整数的幂有关. 同类不等式还有： ⑴ （从第三项起放缩为：=） 注3：若第三项放缩为，则可证明. ⑵ （从第三项起放缩为） ⑶ (n1) (从第二项起放缩为：，再累加可得) ⑷ (n1) （从第一项起放缩为：， 再累加得：左式中式=右式） ⑸ (n1) (从第二项起放缩为： =，再累加得：左边) 途径2:放缩为等比类. 例2.求证： 证明： 例3. 证明1：利用不等式：若, 则 则有： 证明2：利用 (后面例8将证) 原不等式 (真分数的性质) (*) 现证(*)： (均值不等式) 注：⑴此类型的实质就是通过放缩把原数列变成可以用“错位相减法”求和的新数列（常常是等比数列），有的题例子并不严格是放缩为等比数列（如同类不等式的⑷）. ⑵此类型的放缩手法多样：可以简单地放大缩小分子分母（如同类不等式的⑴），或利用重要的不等式（例3），或采用固定的程式放缩（如例2，同类不等式的⑵、⑶）等. ⑶此类型的特征是：通项的结构常与正整数的指数式有关. 同类不等式还有： ⑴ (从第三项起放缩为：) ⑵ (∵,∴从第四项起放缩为：) ⑶ (∵,∴从第一项起放缩为：). ⑷ （从第二项起放缩为：得：左） 途径3:放缩为(高阶)等差类. 例4.已知为其前n项和.⑴求证:当时,有; ⑵ 证明：⑴用导数证明，略. ⑵ 注：⑴此类型的实质就是直接利用函数不等式进行放缩.至于何时使用此法，一是看不等式的结构，二是多数情况下题目要给出提示. ⑵此类型的特征是：不等式的结构常与函数不等式有关. 常见函数不等式如下: ①;②;③; ④;⑤;⑥; ⑦;⑧ 同类不等式还有：1.⑴求证：当x-1时有：； ⑵求证：. 证明：⑴由导数易证，略. ⑵由⑴的结论：取 从而有： ，从而原不等式成立. 途径4:增大（减小）分子（分母 ）或被开方数放缩类. 例5.求证： 证明： 例6.求证： 证明： ① ∵＞② ∴①+②得：＞原不等式成立. 注：⑴此类型的放缩手法常见的有：增加(减少)某些项,增大(减少)分子(分母),增大(减小)被开方数等. ⑵此类型的特征是：通项的结构常与正整数的分式、根式有关. 同类不等式还有： ⑴2()＜1+＜2 (从第一项起放缩为：2(,再累加可得) ⑵ (由累加可得) 途径5:利用二项式定理放缩类. 例7.求证：（1+）（1+）（1+）…（1+）＞ 证明一：原式（1+）（1+）（1+）…（1+）＞2n+1 ∵（1+）=1+＞1+ ∴（1+）（1+）（1+）…（1+） ＞=2n+1 ∴原不等式成立. 注1：⑴证明二,证明三分别见例9,例10. ⑵也可用对偶式进行放缩：设A=,B= 显然A＞B,∴A＞AB==2n+1 例8.求证：2≤（1+＜3 (n≥1) 证明：=C+C+C≥C+C=2 =C+C+C =1+1+ ≤1+1+≤2+ =3-＜3 注2：此类型的特征是：不等式的结构常与二项式有关. 同类不等式还有： ⑴①2≥2n+2 (n≥3);②2≥ (n≥2);③3≥(n+2)2 (n≥1) ⑵（1+）（1+）（1+）…（1+）＞ (n≥1) (从第一项起放缩为:) ⑶n＞(n+1) (n≥3) （ ≤） ⑷(1+＜(1+ (n≥1) 法一：( =)（法二见途径6