一阶微分方程可分离变量的方程齐次方程一阶线.ppt

1、一阶微分方程： 可分离变量的方程， 齐次方程， 一阶线性方程的通解和特解。 例2. 解初值问题 二、1. 2. 3. 2、二阶微分方程：可降阶的高阶方程（第一、第二类）常系数线性非齐次方程的通解和特解 二、1. 2. 5. 6. 3、求向量的数量积、向量积； 求直线方程、平面方程 线与线的关系 面与线间的关系 7、多元函数微分在几何上的应用：（1）求曲线在一点处的切线和法平面（2）求曲面在一点处的法线和切平面 4、平面曲线绕平面上一轴旋转所得旋转曲面的方程 例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 例4. 求坐标面 xOz 上的双曲线 5、多元函数在一点连续、偏导数存在、可微概念之间的关系 6、求偏导数、全微分；复合函数求偏导数、全微分（包括具体函数和抽象函数）；隐函数求偏导数、全微分 解答提示: 7、多元函数微分在几何上的应用：（1）求曲线在一点处的切线和法平面（2）求曲面在一点处的法线和切平面 8、高阶偏导数——会求二阶偏导数（包括抽象函数） 9、多元函数的极值（包括求实际问题的最值）：条件极值和无条件极值 平面 [1] 平面的点法式方程 [2] 平面的一般方程 [3] 平面的截距式方程 [4] 两平面位置特征： // 空间直线 [1] 空间直线的一般方程 [3] 空间直线的参数方程 [2] 空间直线的对称式方程 直线 直线 夹角公式: 平面 ? : L⊥? L // ? 夹角公式： 直线 L : 主要解决下列问题： 其他情形类似。 的圆锥面方程. 解: 在yOz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为 两边平方 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解: 绕 x 轴旋转 绕 z 轴旋转 所成曲面方程为 所成曲面方程为 双叶旋转双曲面 单叶旋转双曲面 旋转椭球面 旋转抛物面 9/21 连续性 偏导数存在 可微 主要是选择填空题型。 1. 设函数 f 二阶连续可微, 求下列函数的二阶偏导数 第 1 题 1、设 ? ： 切线： 法平面： 3/18 2、设 ? ： 3、设 ? ： 5/18 该公式不必记忆！ 曲面? 上点M(x0,y0,z0) 处的法向量 : 法线 L: 切平面 ?: 11/18 1、设 ? ： 2、设 ? ： 曲面在M处的法向量 法线 令 切平面 12/18 在 上求一点 ，使其法线垂直于平面： 所求法线方程为 在 上求一点 ， 所求点为 使该点的切线平行于平面： * 总复习（一） 一、可分离变量的微分方程 解法： 解 分离变量 即 ( C 0 ) 积分 解: 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得 C = 1, ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 二、齐次方程 ——齐次方程. 2.判断 1.定义 2/11 例如 3.解法： 代入原式 可分离变量 则 即 例1 求解 还原，得原方程的通解为 解 通解（公式）: 一阶非齐次线性微分方程的通解（公式）: 三、一阶线性微分方程 解 例1 6/17 7/17 ——一阶线性方程 通解为 原方程变形为： ——一阶线性方程 通解为 判别下列方程类型: 可分离 变量方程 齐次方程 线性方程 线性方程 可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 例1 解 例2 解 5/10 解 代入 解 二阶常系数齐次线性方程的代数解法 3/10 一、f (x)=e?x Pm (x) 型 非齐次方程特解 齐次方程通解 通解： 二、f (x)=e?x[Pm1(x)cos?x+Pm2(x)sin?x] 型 解 特征方程为 解得 对应齐次方程通解为 设 代入原方程得 原方程通解为 解 特征方程为 解得 对应齐次方程通解为 设 代入原方程得 原方程通解为 解 对应齐次线性方程通解 特征方程 特征根 例1 代入方程, 得 原方程通解 数量积 (点积、内积) 数量积的坐标表达式 向量积 (叉积、外积) // 向量积的坐标表达式