罗伦兹吸引子空间曲线.doc

罗伦兹吸引子的空间曲线 1.1 问题背景 吸引子在1963年由麻省理工大学的气象学家罗伦兹（E.N.Lorenz）发现。罗伦兹教授在研究天气的不可预测性时，通过简化方程，获得了具有三个自由度的系统。在计算机上用他所建立的微分方程模拟气候变化，意外地发现，初始条件的极微差别可以引起模拟结果的巨大变化，这表明天气过程以及描述它们的非线性方程是如此的不稳定，以至巴西热带雨林的一只蝴蝶偶然拍动一下翅膀，几星期后可以在美国德克萨斯州引起一场龙卷风，这就是天气的“蝴蝶效应”。 1.2罗伦兹吸引子的空间曲线 罗伦兹微分方程组的解曲线——Lorenz 吸引子是三维空间中的一条曲线，如图1所示这条曲线相互缠绕而互不相交。如果将这条曲线视为某一动点的轨迹，这个动点将随自变量 t 的增大，在空间中的两个定点附近作环绕运动。 罗伦兹常微分方程组为 给定初值条件 取，，，，则得微分方程组： 将三个方程的右端函数写成向量形式，得 由于 MATLAB中有常数 eps = 2.2204×10－16，初始条件可以用列向量 [0? 0? eps]T 表示。首先建立描述微分方程组右端函数的函数文件：function z=flo(t,y) A=[-8./3 0 y(2);0 -10. 10.;-y(2) 28. -1]; z=A*y; 将这一文件保存在MATLAB的工作目录下，然后在MATLAB 环境中键入如下指令：[t,y]=ode23(flo,0,80,[0 0 eps] ); u=y(:,1);v=y(:,2);w=y(:,3);plot3(u,v,w) MATLAB的图形窗口将显示Lorenz 吸引子的图形如图1所示。另外，还可以绘制动画，如果关闭MATLAB的图形窗口，并在命令窗口中再键入 ?????? comet3(u,v,w) 便可以观察到Lorenz 吸引子的图形生成过程的动态演示。命令comet3的使用格式和上面的plot3的使用格式相同，不同的是绘图效果增加了动感，其功能是在绘图时以动点模拟慧星运行并带有一条尾巴。