数学模型定解条件边界条件初始条件.ppt

第一章 渗流理论基础 §1.7 数学模型的建立及求解 1.7.1数学模型的有关概念 同一形式的偏微分方程代表了整个一大类的地下水流的运动规律，而对于不同边界性质、不同边界形状的含水层，水头的分布是不同的。 对于偏微分方程而言，方程本身并不包含反映特定渗流区条件的全部信息，方程可能存在无数个解，如需要从大量的可能解中求得与特定区域条件相对应的唯一特解，就必须提供反映特定区域特征的信息。 这些信息包括： （1）微分方程中的有关参数m,K,m*，当这些参数确定后，微分方程才能被确定下来。 （2）渗流区范围和形状，当微分方程所对应的区域被确定之后才能对方程求解。 （3）边界条件(boundary conditions)：表示渗流区边界所处的条件，用以表示水头H（或渗流量q）在渗流区边界上所应满足的条件，也就是渗流区内水流与其周围环境相互制约的关系。 （4）初始条件(initial conditions)：表示渗流区的初始状态，某一选定的初始时刻(t=0)渗流区内水头H的分布情况。 将边界条件和初始条件并称为定解条件(definite solution condition)，微分方程和定解条件一起构成渗流场的数学模型。 数学模型：描述某一研究区地下水流运动的数学方程与其定解条件共同构成的表示某一实际问题的数学结构。 亦即从物理模型出发，用简洁的数学语言，即一组数学关系式来刻画它的数量关系和空间形式，从而反映所研究地质体的地质、水文地质条件和地下水运动的基本特征，达到复制或再现一个实际水流系统基本状态的目的的一种数学结构。 其中微分方程表示地下水的流动规律，定解条件表明研究对象所处的特定环境条件，即所研究的地下水流的真实状态。 定解问题是给定了方程（或方程组）和相应定解条件的数学物理问题。 建立模型是指建立数学模型的过程。 1.7.2 定解条件 1.定解条件 指水头、流量等渗流运动要素在流场边界上的已知变化规律，这种变化规律是由流场外部条件引起的，但它不断地影响流场内部的渗流过程并在整个期间一直起作用。包括边界条件和初始条件。 2. 边界条件 是渗流区边界所处的条件，用以表示水头H（或渗流量q）在渗流区边界上所应满足的条件，也就是渗流区内水流与其周围环境相互制约的关系。 (1) 第一类边界条件(Dirichlet条件)：如果在某一部分边界 (设为Sl或Γ1)上，各点在每一时刻的水头都是已知的，则这 部分边界就称为第一类边界或给定水头的边界，表示为: 或 给定水头边界不一定就是定水头边界。 可以作为第一类边界条件来处理的情况： ① 河流或湖泊切割含水层，两者有直接水力联系时，这部分边界就可以作为第一类边界处理。此时，水头y是一个由河湖水位的统计资料得到的关于t的函数。但要注意，某些河、湖底部及两侧沉积有一些粉砂、亚粘土和粘土，使地下水和地表水的直接水力联系受阻，就不能作为第一类边界条件来处理。 在自然界，这种情况很少见。就是附近有河流、湖泊，也不一定能处理为定水头边界，还要视河流、湖泊与地下水水力联系的情况，以及这些地表水体本身的径流特征而定。在没有充分依据的情况下，不要随意把某段边界确定为定水头边界，以免造成很大误差。 ② 区域内部的抽水井、注水井或疏干巷道也可以作为给定水头的内边界来处理。此时，水头通常是按某种要求事先给定，例如给定抽水井的允许降深等。上面介绍的都只是给定水头的边界。注意，给定水头边界不一定是定水头边界。 ③ 排泄地下水的溢出带、冲沟或排水渠的边界也可近似看作给定水头边界。 (2)第二类边界条件(Neumam条件)：当知道某一部分边界 (设为S2或Γ2)单位面积(二维空间为单位宽度)上流入(流出时用负值)的流量q时，称为第二类边界或给定流量的边界。相应的边界条件表示为: 或 式中，n为边界S2或Γ2的外法线方向。q1和q2则为已知函 数，分别表示S2上单位面积和Γ2上单位宽度的侧向补给量。常见的这类边界条件： ① 隔水边界（流线、分水岭）： ② 抽水井或注水井： ③ 补给或排泄地下水的河渠边界上，如已知补给量。 （3）第三类边界条件：某边界上H 和 的线性组合是已知的，即有： 又称混合边界条件，?，?为已知函数。 边界为弱透水层（渗透系数为K1，厚度或宽度为m1）， 在s3上, 在 上, 浸润曲线的边界条件： 当浸润曲线下降时，从浸润曲线边界流入渗流区的单位面积 流量q为： 式中，? 为给水度，? 为浸润曲线外法线与铅垂线间的夹角。 3.初始条件 某一选定的初始时刻(t=0)渗流区内水头H的分布情况。 或 其中，H0为D上的已知函数。 1.7.3 渗流数学模型的分类 (1)线性、非线性模型 模型由线性方程所