11线性空间.ppt

例13 设R2×2的两个子空间为： (1) 把V1+V2表示成生成子空间； (2) 求V1+V2的基和维数； (3) 求V1∩V2的基和维数。 定理9：设V1、V2为线性空间V的子空间，则下面五个条件等价： (1) V1+V2是直和； (2) 零向量的分解式唯一； (3) V1∩V2={0}； (4) dim(V1+V2)=dimV1+dimV2。 (5) 若x1,x2,…,xs是V1的一组基，y1,y2,…,yr是V2的一组基，则x1,x2,…,xs, y1,y2,…,yr 是V1+V2的一组基。 设V1,V2,…,Vs是线性空间V的子空间，若和空间V1+V2+…+Vs中的每个向量x的分解式 是唯一的，则称和V1+V2 +…+Vs为直和，记做 定理10：下面四个条件等价： (1) V1+V2 +…+Vs是直和； (2) 零向量的分解式唯一； (3) (4) dim(V1+V2 +…+Vs)=dimV1+dimV2+…+dimVs。 矩 阵 论 胡忠锋 邮箱：guyuexifeng77@163.com . 矩阵理论 线性代数 矩阵计算 数值代数 解线性方程组Ax=b x=A-1b A-1如何计算? Cram法则 行列式如何计算？ 矩阵理论 线性空间与线性变换 矩阵分解 特征值的估计及对称矩阵的极性 范数理论及其应用 矩阵分析及其应用 广义逆矩阵 第一章 线性空间与线性变换 1.1 线性空间 1.2 线性变换及其矩阵表示 1.3 常见特殊矩阵 1.1 线性空间 线性空间及其性质 线性空间的基与坐标 线性子空间 1. 线性空间及其性质 (a) 集合 集合(set):是指一些对象的总体。 元素(element):这些对象称为集合的元素。 整数集； 线性方程组的解集； 由某个平面上所有的点构成的点集。 用S表示集合，a是S的元素 a不是S的元素 集合的表示： (1) 列举所有元素，如N={1,2,3,4,5}； (2) 给出集合中元素的性质，如 单位圆周： 正整数集： 不包含任何元素的集合称为空集(empty set)。 若 则A是B的子集(subset)， 若 则A与B相等(equivalent)，A=B 集合的运算： (1) (2) (3) 数域(field)：关于四则运算封闭的数的集合。 任何数域都含有元素0和元素1； 若 典型数域：复数域C，实数域R，有理数域Q； 任意数域K都包括有理数域Q。 (b) 线性空间 给定非空集合V ，数域K ，如果满足： Ⅰ 在V中定义一个封闭的加法 加法交换律 加法结合律 零向量 负向量 Ⅱ 在V中定义一个封闭的数乘运算 数对元素分配律 元素对数分配律 数因子结合律 单位向量 则称V是K上的线性空间(linear space)。当K是实数域时，称V为实线性空间；当K是复数域时，称V为复线性空间。 例1 实系数，次数不超过n的一元多项式的集合。 例2 常系数二阶齐次线性微分方程的解集。 例3 所有n阶实矩阵的集合。Rn×n (c) 线性空间的基本性质 零元素是唯一的； 2. 任一元素的负元素是唯一的； 3. 设 ， ，有 ④ 若 ，则 或 。 ① ② ③ 给定线性空间V中一组元素x1,…,xm，对于x∈V，若存在数域K中的一组数c1,…,cm使得 则称x是x1,…,xm的线性组合(linear combination)，或称x能被x1,…,xm线性表示（线性表出）。 对于线性空间V中一组元素x1,…,xm，若存在数域K中的一组不全为零的数c1,…,cm使得 则称x1,…,xm是线性相关(linearly dependent)的。否则称x1,…,xm是线性无关(linearly independent)的。 例4 在Rn中，分别讨论下面两个向量组的线性相关性： 例5 讨论下面2阶矩阵的线性相关性： 例6 设V是R上全体实函数构成的线性空间，讨论V中元素组t，et，e2t的线性相关性。 1. 一个向量线性相关的充要条件是它是零向量。两个以上的的向量线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合。 2. 如果向量组x1,x2,…,xr线性无关，而且可以被向量组y1,y2,…,ys线性表出，则r≤s。 3. 两个等价的线性无关的向量组，必含有相同数量的向量。 4. 如果向量组x1,x2,…,xr线性无关，但x1,x2,…,xr,y线性相关，则y必可以由x1,x2,…,xr线性表