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定积分的几何应用(新)I
一、 定积分的微元法 思考题 * * §5.5 定积分在几何中的应用 一、 定积分的微元法 二、 平面图形的面积 三、 旋转体的体积 用定积分表示一个量, 如几何量、 物理量或其他的量, 一般分四步考虑, 我们来回顾一下解决曲边梯形面积的过程. 第一步分割: 将区间 [a, b] 任意分为 n 个子区间 [ xi - 1, xi ](i = 1, 2, · · ·, n), 其中 x0 = a,xn = b . 第三步求和: 曲边梯形面积 A 第四步取极限: n? ?,? = max{?xi } ? 0, 第二步取近似: 在子区间 [ xi-1, xi ]上, 任取一点 xi , 作小曲边梯形面积 ?Ai 的近似值, ?Ai ? f (xi)?xi . (i=1,2,…n) 如果把第二步中的 xi 用 x 替代, 中的被积分式 f (x)dx 具有类同的形式, 第二步取近似时其形式 f(xi)?xi ,与第四步积分 ?xi 用 dx 替代, 那么它就是第四步积分中的被积分式, 第一步选取积分变量, 例如选取 x, 并确定其范围, 例如 x? [a, b], 在其上任取一个子区间记作 [x, x + dx]. 第二步取所求量 I 在子区间 [x, x + dx] 上的部分量 ?I 的近似值 ?I ? f (x)dx, 第三步取定积分 基于此,我们把上述四步简化为三步: 几点说明: (1) 取近似值时, 得到的是形如f (x)dx 的近似值, 并且要求 ?I - f (x)dx 是 dx 的高阶无穷小量, 关于后一个要求在实际问题中常常能满足. (2) 满足 (1) 的要求后, f (x)dx 是所求量 I 的微分, 所以第二步中的近似式常用微分形式写出,即 dI = f (x)dx , dI 称为量 I 的微元. 上述简化了步骤的定积分方法称为定积分的微元法. x a O x x + dx y = f (x) y 计算由区间[a, b]上的两条连续曲线 以及两条直线x=a与x=b所围成的平面图形的面积。 由微元法,取x为积分变量, 其变化范围为区间[a, b],在 区间[a, b]的任意一个小区间 [x, x+dx]上,相应的面积可 以用 x点处的函数值 二、 平面图形的面积 a y x b O x y = f (x) x+dx y = g(x) 为高 所以,所求平面图形的面积A为 以dx为底的矩形面积近似代替(如图),从而得到面积元素 类似地可得,由区间[c,d]上的两条连续曲线 与 ,( 当 ) 以及两直线 与 所围成的平面图 形的面积为 ? x o y c d y y+dy ? 例1 计算由曲线 及直线 所围 成的平面图形的面积。 解:作出所围成的平面图形 取x为积分变量,其变化区间 为[0,1]。于是,平面图形的面积 例 2 求出抛物线 y2 = 2x 与直线 y = x – 4 所围成的平面图形的面积. 解 作草图,如图, 求抛物线与直线的交点, 即解方程组 得交点 A (2, - 2) 和 B (8, 4). x A B -2 4 y y = x-4 y2 = 2x (8,4) (2,-2) 于是 如果选择 x 为积分变量, 那么它的表达式就比上式复杂. 如果选择 y 作积分变量,y ? [-
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