定积分在几何学上的应用I.ppt

一、平面图形的面积 例　计算两条抛物线 例　计算抛物线 例　求椭圆 2. 极坐标情形 例　计算阿基米德螺线 例　计算心形线 例　求双纽线 二、已知平行截面面积函数的立体体积 特别 , 当考虑连续曲线段 例 计算由椭圆 例 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 例 求曲线 例. 内容小结 第六章 定积分在几何学上的应用 一、 平面图形的面积 二、已知平行截面面积函数的立体体积 1. 直角坐标情形 设曲线 与直线 及 x 轴所围曲 则 边梯形面积为 A , 右图所示图形面积为 在第一象限所围 所围图形的面积 . 解: 由 得交点 一、平面图形的面积 与直线 的面积 . 解: 由 得交点 所围图形 为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有 一、平面图形的面积 解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法得 当 a = b 时得圆面积公式 一、平面图形的面积 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 . 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 所求曲边扇形的面积为 一、平面图形的面积 对应 ? 从 0 变 解: 到 2? 所围图形面积 . 一、平面图形的面积 所围图形的 面积 . 解: (利用对称性) 一、平面图形的面积 所围图形面积 . 解: 利用对称性 , 则所求面积为 一、平面图形的面积 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间 的体积元素为 因此所求立体体积为 上连续, 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 当考虑连续曲线段 绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 二、已知平行截面面积函数的立体体积 所围图形绕 x 轴旋转而 转而成的椭球体的体积. 解: 利用直角坐标方程 则 (利用对称性) 二、已知平行截面面积函数的立体体积 并 与底面交成 ? 角, 解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为 垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为 利用对称性 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 . 二、已知平行截面面积函数的立体体积 此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ? 提示: 二、已知平行截面面积函数的立体体积 与 x 轴围成的封闭图形 绕直线 y＝3 旋转得的旋转体体积. 解: 利用对称性 , 故旋转体体积为 在第一象限 二、已知平行截面面积函数的立体体积 设平面图形 A 由 与 所确定 , 求 图形 A 绕直线 x＝2 旋转一周所得旋转体的体积 . 提示： 选 x 为积分变量. 旋转体的体积为 若选 y 为积分变量, 则 二、已知平行截面面积函数的立体体积 1. 平面图形的面积 边界方程 极坐标方程 直角坐标方程 2. 已知平行截面面面积函数的立体体积 旋转体的体积 绕 x 轴 : 绕 y 轴 : 运行时, 点击按钮“心形线”, 可演示心形线的生成, 并自动返回. (94 考研数二) * *