n阶全矩阵环代数的极小生成集.pdf

维普资讯 第43卷 第 5期 武汉大学学报 (自然科学版) V0_【43 No．5 1997年 10月 J．WuhanUniv．(NaturalScienceEditlon) oct． 1997 阶全矩阵环 (代数)的极小生成集 一 邱琦章 孙 凌 [=)／ ． (武汉大学 430072) (武汉 面 院) O O O 摘 要 证明了下面的结论： 1．若R是有单位元 1的环．吼IIM (R)作为环与R一模可由两个元生成 ； ● ● - ● ● ● ● ● 2．设F是域，M (，)作为F一代数可由两个元生成 ，且 ^f_(F)的任意非中心元皆可作为极小生 成枭中的一员； 3．设F是特征为零的域 ，则 (F)的上三角矩阵子代数可由两个元生成． 分蓄娄号0153．3’ E髓 塑一 榀 土生战 设R是有单位元 1的环，则R上的阶全矩阵环^ (R)是环并且是R一模．将 ^ )看作 O 1 是有两个二元运算及多个一元运算的泛代数G．设 是G的非空子集，则G 中有唯一确定的 0 l 子代数()，它是G 中包含 的最小子代数(即包含 的所有子代数的交)，若()一G，则称 是泛代数G的生成元集 ]． 0 本文讨论 (R)gt其某些子代数的极小生成元集．首先，当n≥2时，^ )是非交换环． Mo )显然不能由一个元素生成，下面证明^ (R)的极小生成元集的基数为 2． 定理 l 设R是有单位元 1的环，则 阶全矩阵环^ (R)作为环与左(右)R模可由两个 元素生成． 证 当n一1时定理显然成立，此时生成元只需取R的单位元 1即可． 当 ≥2时，命 0 1 0 0 A 一 ． 曰 ● … 0 0 用E表示第 行第 列元素为 1，其余元素为0的n阶方阵，则由计算易知 E，一Bi。AB (1≤ i，≤ ) E，是 自由R一模Mo(R)的基，故 ^ (R)可 由A、B生成，证毕， 假设R是域，这时^ )为R一代数．下面证明^ )中的任意非中心元皆可作为极小生 成集中的一员． 收稿 日期：1996—09—17． 邱琦章，男，49岁，副教授