专题十一平面向量的坐标.doc

专题十一　平面向量的坐标运算及数量积 主干知识整合 1．平面向量的数量积a·b＝|a||b|cosθ. 2．平面向量的坐标运算 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 数乘 λa＝(λx1，λy1) 向量共线 ab?x1y2－x2y1＝0 距离公式 ||＝ 数量积 a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ 垂直 ab?x1x2＋y1y2＝0 3.核心问题 (1)有关数量积的基本运算． (2)有关数量积的定值和最值问题． (3)用三角函数研究与向量有关的问题． ?　探究点一　平面向量的数量积基本运算 平面向量的数量积的基本运算主要包含以下几个方面：一是用定义法获坐标法求解数量积；二是求解向量的模；三是求解向量的夹角． 例1 (1)设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中0αβπ，若|2a＋b|＝|a－2b|，则β－α＝________. (2)在ABC中，AB＝1，AC＝2，O为ABC外接圆的圆心，则·＝________. (1)　(2)　【解析】 (1)方法一：由|2a＋b|＝|a－2b|得3a2＋8a·b－3b2＝0，即a·b＝0，从而cos(β－α)＝0.又0αβπ，故0β－απ，所以β－α＝. 方法二：如图所示，设向量a、b分别对应于、，，对应于2a、2b，则2a＋b，a－2b对应于向量，，由于OBC≌△OAD，故||＝||，从而由题意得||＝||，故四边形OCEB为矩形，从而β－α＝. (2)方法一：·＝·(－)＝·－·， 又||＝|－|，||＝|－|，所以 即·－·＝，故·＝. 方法二：过O作OD垂直于BC，垂足为D，因为O是三角形ABC的外接圆圆心，所以D为线段BC的中点，所以＝＋，则·＝(＋)·＝· ＝(＋)·(－)＝||2－||2＝. 等边三角形ABC中，P在线段AB上，且＝λ，若·＝·，则实数λ的值是________． 1－　【解析】 P在线段AB上，所以0≤λ≤1，不妨设等边三角形ABC边长为1，·＝·， (＋)·＝·(－)， 从而有·＋·＝·－·， －＋2λ＝λ2，解得λ＝1±. 又0≤λ≤1，λ＝1－. 与动点有关的向量数量积问题中最常见的问题是求动点构造的向量的数量积的最值问题，此类问题一般需要建立与数量积有关的函数，通过函数求最值． 如图11－1放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上(含原点)上滑动，则·的最大值是________． 图11－1 2　【解析】 设OAD＝θ，则OA＝AD·cosθ＝cosθ， 点B的坐标为(cosθ＋cos(90°－θ)，sin(90°－θ))，即B(cosθ＋sinθ，cosθ)， 同理可求得C(sinθ，sinθ＋cosθ)， 所以·＝(cosθ＋sinθ，cosθ)·(sinθ，sinθ＋cosθ)＝1＋sin2θ，所以(·)max＝2. 【点评】 本题中A，D两点在移动，并且将这两点的动态特征用三角函数表示，并由此三角函数求出B，C两点的坐标，从而用三角函数求解其最值． 平面内两个非零向量α，β，满足|β|＝1，且α与β－α夹角为135°，则|α|的取值范围________． 　【解析】 如图所示， 在OAB中，设OBA＝θ，所以＝，即|a|＝OA＝sinθ， 又θ，故|a|(0，]． 1．向量的数量积问题主要涉及向量的模、夹角、坐标这三个基本方面，有关向量数量积的运算都是这三个方面的运算． 2．研究向量，一般有两个途径，一是建立直角坐标用坐标研究向量间的问题，二是用基底向量来研究． 3．与向量数量积有关的最值或参数的取值范围，可以建立与点坐标有关的函数或三角函数来研究，也可以考虑其几何意义，从几何角度来研究． 在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，设向量x＝(sinB，sinC)，向量y＝(cosB，cosC)，向量z＝(cosB，－cosC)，若z(x＋y)，求tanB＋tanC的值． 【解答】 x＋y＝(sinB＋cosB，sinC＋cosC)， 由z(x＋y)，得cosC(sinB＋cosB)＋cosB(sinC＋cosC)＝0， 即sinBcosC＋cosBsinC＝－2cosBcosC. 所以＝tanB＋tanC＝－2.