多重调和映射的等周型和Fejer—Riesz型不等式.pdf

陈少林等：多重调和映射的等周型和 Fejer—Riesz型不等式 其中QCC 是单连通域，h和g是 Q上的全纯函数 [2】．我们用 (B，C)表示所有从 到c的多 重调和映射．关于多重调和映射的相关理论参见文献 [3-6]．特别地，若 佗=1时，则多重调和映射就 是平面调和映射 7[-9]． 设PE(0，。。]，若可测函数 f：B _÷C使得对于所有的r∈(0，1)， (r，．厂)有定义且 li／][。。， 则称 ，属于Hardy类 )，其中 ∞ ’ fsup (r，，)． p ，Ilp={l。 有=。。 c(，，，，)：：((＼Jd／BI，，·crr((()-ldd盯盯c((()]J／1p／ suplf(z)l， P ∈Bn da表不 OB 上 的正规化 曲曲 0度 ． 设P∈(0，。。]，若一个定义在多圆盘D CC”上的可测函数满足 sup 厂If( 1 JTn 0rL 喇J。。， 则称 ，属于 Hardy类HP(D)，其中dm 是定义在 T 上的Haar测度，且 dmn(e …-je”) 奶 …‰ - 易知，若定义在 Dn上的多重调和映射 ，满足 f∈日p(Dn)，则 ，(()： lim ，(r) 在 ⅢIn上几乎处处存在，且边界函数属于LP(T，m )并满足 ]f(C)lPd sup Tn 0r1L{J厂TIf(I㈦)J． 设PE(0，。。1，则所有满足 ll，II=(ld()1Upo。 的多重调和映射 f∈ ( ，C)构成多重调和 Bergman空间 ( )，其中dVN表示 上的正规化 Lebesgue体积测度． 设 表示闭曲线 ，y的长度， 表示 所围区域的面积，则经典的等周不等式可写为 47rA ≤L0 ， 且当7是 刷时等号成立．夫十此小等式的史多讨论，参见文献 [10—13]．CarlemanM【J给出 关于平 面全纯函数等周问题的一个漂亮证明．通过利用类似 Carleman的方法，Strcbel[15_定理199·】证明了若 f∈H (D)，则 l／1t，()1dd≤4~(o／皿I／e()Idt)， (．1) 且当 )= 中国科学 ：数学 第 44卷 第 2期 时等号成立，其中 lal1．另外，Mateljevi4和 Pavlovi4[16】也证明了此不等式．后来，Burbea[171改 进 (1．1)为如下不等式： np( 。≤( ，e(l)， (1．2) 其中礼≥2是正整数以及对于某个P∈(0，oo)，f∈HP(D)．Kalaj和Megtrovid[18]证明了如下关于平 面调和函数的等周型不等式． 定理 A 设 1P，q∞ 并满足 1／p+1／q=1，则对于任意的调和函数 ．厂∈HP(D)满足如下不 等式： IlY[Ib~≤ap I， 其中 ()吉，