指点导数在研究函数性质上应用试题的迷津.pdf

·试题分析· 中。7毒幺·?(2011年第4期·高中版) 43 指点导数在研究函数性质上应用试题的迷滓 570206海南华侨中学李红庆张红 浏览近几年高考数学试题中导数在研究函数性质 点评利用变式 上的应用题，发现多省份和全国试题围绕不等式e‘≥茗+ x ％ ％ 篙 X 1和ln(x+1)≤茁及其变式在进行命题，尽管有些省份试 题解答没有流露出来，但分析其解题思路与归宿就心照 上一1：0． 不宣了．如：山东省2008年理科第2l题，就可以用到ln (x-1)=In[(x-2)+1]≤z一2如一1；又如：湖南省2008年 -e1． 理科第21题，就可以用到，令，’(z)的分子为g(x)=2(茗 (I)证明：当x一1时以戈)≥者； +1)ln(x+1)一茗2—2x(x一1)，贝0g’(戈)=2[In(x+1)一髫] ≤O；近几年全国几套试题对这两个不等式的考查可以说 (Ⅱ)设当砖≥o时以并)≤二鲁，求口的取值范围． 是淋漓尽致了．从解题思想方法上看，多数表面上是分类 n筇十工 讨论．其实采用“探求充分条件，再证明必要性”的思路 解答(I)当石一l时以茹)≥者等价于e。≥茗+1， 现选两例进行考查内容与思想方法剖析，并奉献几题让考 令g(x)=e5-x-1，g’(茗)=e。-1． 生考前找准津点． 若-1a≤0时，g’(茗)≤0； 例1 (2001年全国卷大纲I理20)已知函数 火聋)=(髫+1)l眦哨+1． (I)若矿(石)≤茗2+缎+1，求口的取值范围； 即矿≥菇+1，故当z一1时以省)≥者； (Ⅱ)证明：(茗一1)fC茗)≥0． 点评还是利用e。≥石+1把超越不等式转化为整式 解答 (I)函数f(x)的定义域为(0，+∞)， 不等式． ，，(髫)：盟+l眦一l：x—lnx—+l， (II)(探求充分条件)令g(髫)=fC茹)一=看 矿’(戈)≤髫2+似+1，则a≥叫+1似在区间(0，+∞)上 ：巡害华也(茗≥o)，gio)：0． 6L茁+l 恒成立，令h(x)=叫+l似，矗’(算)=一1+上，令^’(髫)=0得 (i状戈)=l一÷≤：旨x寸V茗≥0都成立，由1—71 戈=1，则h(茗)。=h(1)=一1，故a的取值范围为[一l， ≥O知a≥0，即当口10时， +∞)； 点评利用吖+l眦=吨+ln[(髫一1)+1]≤一x+(x-1) ． 以髫)≤轰旨等价于瑚髫)吼x)-x一O， =一1也可得到结果． 令h(x)=axf(x)t尺茹)一茹， (Ⅱ)由(I)知，^(戈)=叫+l吡≤一l， ^’(石)=q厂(菇)+n叫一(茹)t，’(髫)-1， 即l眦—髫+l≤0． 当Oxl时， ^’(菇)=q厂(髫)+ax-axf(x