15 建模示例之三 如何预报人口的增长.ppt

第2章 初等模型 2.2 录像机计数器的用途 2.4 汽车刹车距离 第2章学习指导 如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模目的时，可以用初等数学的方法来构造和求解模型。 衡量一个模型的优劣全在于它的应用效果，而不在于采用多么高深的数学方法。如果用初等数学和高等数学的方法建立了两个模型，应用效果相同，则初等模型更受欢迎。 2.2 录像机计数器的用途 问题提出 问题提出 问题分析 问题分析 录像带有两个轮盘，一开始录像带缠满左轮盘，右轮盘的轴与计数器相连，右轮转的圈数与计数器读数成正比，开始时右轮盘是空的，计数器读数为0000。 问题分析 录像带从左往右运动，与小马达相连的主动轮的转数是固定不变的，录像带靠压轮压在主动轮上，录像带的运动速度（线速度）为常数，使得录像机播放出稳定的图像。 随着录像带从左向右运动，右轮盘半径增加，转速越来越慢，计数器读数的增长就越来越慢。 模型假设 根据录像机计数器的工作原理做出假设： 录像带的线速度是常数v ； 计数器读数n与右轮盘转的圈数m成正比，m=kn，k为比例系数； 录像带的厚度（加上缠绕时两圈之间的空隙）是常数w，空右轮盘半径为r ; 初始时刻t=0时计数器读数n=0 。 模型建立 为了建立时刻t与计数器读数n之间的数量关系，我们根据模型假设和数量关系 录像带转过的长度＝ m圈的总长度 来计算缠绕在右轮盘上的录像带的长度： 　　 一方面，录像带转过的长度 = v t 模型建立 模型建立 思考 为了由计数器读数n算出时间t，必须先确定参数r、w、v、k 。 你能设计测量的办法吗？ 有必要知道这四个参数的每一个吗？ 参数估计 参数估计的结果 表1提供了足够多的测试数据，我们用其中一部分数据 (t=0，20，40，…，160，184) 按照最小二乘法估计出a和b ，得到 模型检验 用表1剩下的数据 （t=10，30，…，170） 进行检验（图2用ｏ表示的点），可以发现，结果相当好。 模型应用 当n = 4450时，由(4)式算出t = 116.4分钟，剩下的一段录像带还可以录下184–116.4 = 67.6分钟的节目。 评注 从日常生活的实际问题入手，用过观察计数器读数先快后慢的现象，了解计数器的工作原理，在合理的假设下用简单的方法建立数学模型，并进行参数估计、模型检验和模型应用，是建模全过程的典型示例。 思考 回顾1.6节数学建模的基本步骤 作业：课本55页习题2 2.4 汽车刹车距离 问题提出 “1车长度规则” 美国的一个司机培训课程有这样的规则： 在正常驾驶条件下，车速每增加10英里/小时（16.093公里/小时），前后车的距离应增加一个车身的长度。 问题提出 “2秒准则” 这个课程又说： 实现“1车长度规则”的简便办法是“2秒准则”， 即后车司机从前车经过某一标志开始，默数2秒钟之后到达同一标志，而不管车速如何。 问题提出 试判断“2秒准则”与“1车长度规则”是一样的吗？ 这个规则是不是合理呢？ 有没有更好的规则？ 问题分析 制定这两个规则都是为了当后车发现前车急刹车时，后车能够急刹车而不致撞上前车 所以要确定汽车的刹车距离 刹车距离与车速有关 建模目标是找到车速与刹车距离之间的函数关系 问题分析 先看规则“1车长度规则”与“2秒准则”一不一致。 让我们计算汽车在10英里/小时的车速下2秒种行驶多长距离： 10英里/小时×5280英尺/英里×1小时/3600秒×2秒=29.33英尺（=8.94米） 但是一般汽车车身的平均长度只有15英尺（=4.57米），相差近一倍。 所以这两个规则并不一致。 问题分析 从几何上解释“1车长度规则”： 车速每增加10英里/小时，前后车的距离应增加一个车身的长度，表明距离间隔D与车速v成正比例关系。考虑一辆车的长度为15英尺，根据方程D = k v，计算得到比例系数k为： 显然k才约等于1秒，与2秒相差约一倍，所以这两个规则并不一致。 分析 刹车距离的模型 为了对“2秒准则”建模，我们从来开始分析： 刹车距离 = 反应距离 + 制动距离 反应距离指从司机决定刹车到制动器开始起作用汽车行驶的距离； 制动距离指从制动器开始作用到汽车完全停止行驶的距离。 反应距离的子模型 首先研究反应距离的子模型： 反应距离涉及许多因素，是许多变量的函数，我们只从其中两个变量开始： 反应距离 = f（反应时间，车速） 反应距离的子模型 更详细地，我们考虑到： 反应时间取决于 司机个人状况 汽车制动系统的灵敏性， 汽车制动系统的灵敏性和司机的因素相比是相当小的，所以可以忽略。 反应距离的子模型 司机的个人状况，包括反应、