‘英国的海岸线有多长’中.doc

Equiangular Spiral 建國高中陳彧弘 在正方形的四個頂點上各站著一隻老鼠，假設牠們同時以相同速度開始正面追逐相鄰的同伴（→→→→），那麼牠們追逐的路徑會是什麼樣的形式呢？由於牠們的運動方向相對不變，加上其行動速度的一致性，我們可猜想最後牠們必將追撞於正方形的中心。為了驗證這個猜想，我們先依牠們追逐的方式寫一 Matab 程式，並取適當的時間間隔繪出牠們位置的變化（標化），我們可以得到如下圖的結果： 一、MatLab 程式與說明r = 1 ; % 定義正方形邊長 v = 0.001% 定義老鼠之運動速率 A = [r r] ;% 將正方形標化，決定頂點位置 B = [r 0] ;% A,B,C,D 在迭代過程中，將擔任標矩陣之功能 C = [0 0] ; D = [0 r] ; for k = 1:floor(r/v)% 迭代開始，k 為適當計算之迭代次數 A = [A ; [A(k,1) A(k,2)] + ([B(k,1) B(k,2)] - [A(k,1) A(k,2)])./norm([B(k,1) B(k,2)] - [A(k,1) A(k,2)]).*v] ; B = [B ; [B(k,1) B(k,2)] + ([C(k,1) C(k,2)] - [B(k,1) B(k,2)])./norm([C(k,1) C(k,2)] - [B(k,1) B(k,2)]).*v] ; C = [C ; [C(k,1) C(k,2)] + ([D(k,1) D(k,2)] - [C(k,1) C(k,2)])./norm([D(k,1) D(k,2)] - [C(k,1) C(k,2)]).*v] ; D = [D ; [D(k,1) D(k,2)] + ([A(k,1) A(k,2)] - [D(k,1) D(k,2)])./norm([A(k,1) A(k,2)] - [D(k,1) D(k,2)]).*v] ; end % 每迭代一次，便將新的位置標加入標矩陣的新列中 hold on ;% 鎖定圖層，避免繪圖結果被清除 for l = 1:(k+1)% 將每一時刻之位置描點表示 plot (A(l,1),A(l,2),r) ;% 以紅色描出 A 鼠之運動軌跡 plot (B(l,1),B(l,2),b) ;% 以藍色描出 B 鼠之運動軌跡 plot (C(l,1),C(l,2),k) ;% 以黑色描出 C 鼠之運動軌跡 plot (D(l,1),D(l,2),g) ;% 以綠色描出 D 鼠之運動軌跡 end axis equal ;% 設定使水平、垂直方向之比例相同，消除形變 axis([0 r 0 r]) ;% 僅顯示正方形 ABCD 之範圍 hold off ;% 解除圖層之鎖定 在上圖中我們見到的曲線有個特別的名稱 — 「等角螺線」。究竟什麼是等角螺線呢？繼續向下看便知分曉。「等角螺線」為何物？假設四隻老鼠在某時刻之位置分別為,,（如下圖），則由其行動之對稱性知亦為正方形，且與有同樣之中心。考慮在此時的運動方向可知在任何時刻其行進方向皆與其至中心之向量夾45°角。 一般而言，若一動點在任意時刻的運動方向恆與至某定點之向量夾一定角，且此角不為 90° 時（若定角 90°，則此動點沿著定點做圓周運動），我們將其軌跡稱為一等角螺線。所以這四隻老鼠皆循著〝相同〞的等角螺線運動，最後相互碰撞於點（理論上這四條螺線不會相交，但是當牠們夠靠近時，屁股就撞在一起啦！）。等角螺線的方程式，並以原點為極點，若其上任一點之切向量恆與夾一定角, ，則因在點之切向量為，可得： 對等式兩邊積分可得下列結果： 換言之，此等角螺線的方程式為 。 三、教學省思 為何這樣的軌跡要稱作等角「螺線」呢？相信這是許多人第一眼看到這個名稱時心中所浮現的疑問。不過，大部分的人應該很快的直覺到「應該和螺殼的長相有關吧？」（總不可能是螺在水中行進的方式！）在教學上，不妨讓同學實際的到大自然中觀察各種螺殼，並想一想為何它有這樣的形狀（應當和螺生長的過程有關）？藉由實際觀察與思索，必可體會其方程式所蘊含的幾何意義（螺線大小的縮放相當於對其本身作旋轉），由此更令人讚嘆造物者的神奇！ 實際上不啻是螺殼，自然界中充斥了許許多多的螺線，它們隱含著豐富的幾何性質與美妙的數列規律，讓同學在課餘時間盡情的探索，相信問老師們「學數學要做什麼？」的同學必會減少許多！