单摆周期公式的认识.doc

如何正确认识单摆周期公式“T=2中的l和g” 天铁集团第二中学 时俊杰 关于单摆的周期公式T=2是惠更斯从实验中总结出来的，从公式可以看出，单摆做简谐运动的周期与单摆的振幅无关（等时性），与摆球的质量也无关，只与单摆的l和g有关，但在有些振动系统中l不一定是绳长，g也不一定是9.8m/s2，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题。 一、等效摆长： 等效摆长不是指连结物体的绳长，而是摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离。 例如：如图，三根等长的绳l1、l2、l3共同系住一密度均匀的小球m，球直径为d，l1、l2与天花板的夹角a300。 （1）若摆球在纸面内作小角度的左右摆动时，求单摆的周期 （2）若摆球做垂直纸面的小角度摆动时，求单摆的周期 解析：当摆球在纸面内作小角度的左右摆动时，此单摆摆动的圆心在O1处，故等效摆长为l=l1+，所以周期为T=2=2 当摆球做垂直纸面的小角度摆动时，摆球摆动圆弧的圆心在O处，故等效摆长为l=l1+l2sina+，所以其周期为T=2 二、等效重力加速度 （1）公式中的g与单摆所在的空间位置有关。由知，g随地球表面不同位置，不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在出的gˊ。 如：在距离地面h高处和地面处的单摆的周期之比为 由万有引力定律可得出：距地面h高处重力加速度gˊ和地面处重力加速度g的关系为，根据单摆周期公式，单摆在距离地面h高处的周期Tˊ和地面处周期之比为 （2）g还与单摆系统的运动状态有关，如单摆处于向上加速发射的航天飞机内，设加速度为a，此时摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变，则此时的重力加速度应为g的等效值。一般情况下，gˊ值等于摆球静止在平衡位置时摆线的张力与摆球质量的比值，由此可以找到等效重力加速度gˊ。 例如：一以加速度a匀加速上升的升降机天花板上悬挂有一摆长为l的单摆，如图，求其振动的周期为多大？若升降机以加速度a匀加速下降呢？ 解析：本题中单摆是处在加速上升的升降机中，摆球处于超重状态，如图所示，平衡位置的摆球，由牛顿第二定律F-mg=ma 悬线的拉力为F=m（g+a） 此时单摆的等效重力加速度为：gˊ=g+a 故单摆周期为T=2=2 同理，当升降机以加速度a匀加速下降时，摆球处于失重状态， 故单摆的周期为T=2 如果ag，当升降机匀加速下降时，摆球将靠在天花板上与升降机以相同的加速度下降。 如果ag，当升降机匀加速下降时，摆的悬点固定在地板上，则它成为倒立的摆，受力如右图，由牛顿第二定律及单摆周期公式得：T=2=2 （3）g还与单摆所处的物理环境有关，如带电小球做成的单摆在竖直方向的匀强电场中，回复力应是重力和竖直电场力的合力在圆弧切线方向的分力。 例如：如图是摆长为l的单摆，摆球质量为m，带电荷量为+q，在场强为E的竖直向下的匀强电场中做小振幅振动，求该单摆的振动周期T。 解析：该题所述的单摆，其所受的恒定场力是重力与电场力的合力。 在平衡位置摆线所受的拉力为：F=mg+qE 所以 gˊ== 因此这一单摆的简谐运动周期就是T=2 综上所述，一个摆长一定的单摆，其作简谐运动的快慢程度，取决于其回复力所产生的加速度，单摆作简谐运动的回复力是恒定场力沿摆球运动切线方向的分力，上题中单摆受方向一致的电场力和重力，这两个力的合力沿摆球运动切线方向的分力便是单摆作简谐运动的回复力，这一回复力产生的加速度大于重力场中单摆回复力的加速度，因此，它比重力场中的单摆振动得快，其振动周期比重力场中单摆的振动周期要小。 跟踪练习： 1．如图，一辆汽车以加速度a匀加速前进，在车里有一个摆长为L的单摆，该单摆的振动周期T为多少？ 2．将一单摆摆球带电后置于匀强磁场中，磁场方向垂直于摆线和摆球运动的平面，则在摆动过程中，单摆的周期变化吗？ 3．如图，摆球质量为m、半径为r、带正电荷，用长L的细线把摆球吊在悬点O做成单摆，悬点O处固定着另一个正电荷，则这个单摆的振动周期为多少？ 答案：1.T=2（提示：平衡位置不是在摆球的最低点） 2．不变（提示：摆球所受磁场力时刻与运动方向垂直） 3．T=2（提示：摆球所受的电场力总是与摆球运动的方向垂直，这一电场力沿摆球运动切线方向没有分力，它不影响单摆振动的快慢）