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例 动量定理解释了“逆风行舟” * 上页 下页 返回 退出 §2-2 动量定理 动量守恒定律 重写牛顿第二定律的微分形式 考虑一过程，时间从t1-t2，两端积分 一、 动量定理 左侧积分表示力对时间的累积量，叫做冲量。 于是得到积分形式 这就是质点的动量定理：物体在运动过程中所受到的合外力的冲量，等于该物体动量的增量。 动量定理的几点说明： (1)冲量的方向： 冲量 的方向一般不是某一瞬时力 的方向，而是所有元冲量 的合矢量 的方向。 (2)在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程 (3)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。 打击或碰撞，力 的方向保持不变，曲线与t轴所包围的面积就是t1到t2这段时间内力 的冲量的大小，根据改变动量的等效性，得到平均力。 将积分用平均力代替 动量定理写为 平均力写为 平均力大小： 船 前进方向 风吹来 取一小块风dm为研究对象 初 末 由牛顿第三定律 前进方向 风对帆的冲量大小 方向与 相反 例题2-2 质量m=3t的重锤，从高度h=1.5m处自由落到受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间(1)t=0.1s， (2)t=0.01s 。试求锤对工件的平均冲力。 解：以重锤为研究对象，分析受力，作受力图： 解法一：锤对工件的冲力变化范围很大，采用平均冲力计算，其反作用力用平均支持力代替。 在竖直方向利用动量定理，取竖直向上为正。 初状态动量为 末状态动量为0 得到 解得 代入m、h、t的值，求得： (1) (2) 解法二：考虑从锤自由下落到静止的整个过程，动量变化为零。 重力作用时间为 支持力的作用时间为t 根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零， 得到解法一相同的结果 即 例题2-3 一绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为m及的m’物体A和B， m’大于m。B静止在地面上，当A自由下落距离h后，绳子才被拉紧。求绳子刚被拉紧时两物体的速度，以及能上升的最大高度。 m’ m B A h 解：以物体A和B为系统作为研究对象，采用隔离法分析受力，作出绳拉紧时的受力图： A B 绳子刚好拉紧前的瞬间，物体A的速度为： 取竖直向上为正方向。 绳子拉紧后，经过短暂时间的作用，两物体速率相等，对两个物体分别应用动量定理，得到： 忽略重力，考虑到绳不可伸长，有： 解得： 当物体B上升速度为零时，达到最大高度 例题2-4 矿砂从传送带A落到另一传送带B，其速度v1=4m/s，方向与竖直方向成30°角，而传送带B与水平成15°角，其速度v2=2 m/s．如传送带的运送量恒定，设为k=20 kg/s，求落到传送带B上的矿砂在落上时所受到的力． 解:设在某极短的时间△t内落在传送带上矿砂的质量为m，即m=k△t，这些矿砂动量的增量为 于是 其量值可用矢量差方法求得[参看图 (b)] 设这些矿砂在△t时间内的平均作用力为F，根据动量定理， 作用力F的方向与△(mv)的方向相同，图(b)中的θ角可由下式求得： 物体m与质元dm在t时刻的速度以及在t+dt时刻合并后的共同速度如图所示： m dm m+dm 把物体与质元作为系统考虑，初始时刻与末时刻的动量分别为： 初始时刻 末时刻 二、变质量物体的运动方程 对系统利用动量定理 略去二阶小量，两端除dt 变质量物体运动微分方程 值得注意的是，dm可正可负，当dm取负时，表明物体质量减小，对于火箭之类喷射问题， 为尾气推力。 例2-5 质量为m的匀质链条，全长为L，手持其上端，使下端离地面为h.然后放手让它自由下落到地面上，如图所示.求链条落到地上的长度为l时，地面所受链条作用力的大小. 解：此题可用变质量物体运动微分方程求解，用链条为系统，向下为x正向， x t时刻，落地面链段ml速度为零，即u=0，空中链段（m-ml）速度为v，受力如图。 x 由变质量物体运动微分方程可得 因在自由下落中 ，所以上式化简为 或 因 ,又 所以 地面所受链条的作用力的大小 如果系统所受的外力之和为零（即 ），则系统的总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒定律. 条件 定律 时 时 =常量 时 直角坐标系下的分量形式 三、动量守恒定律 3.自然界中不受外力的物体是没有的，但如果系统的内力外力，可近似认为动量守恒。 2.若合外力不为 0，但在某个方向上合外力分量为 0，这个方向上的动量守恒。 1.对于一个质点系，若合外力为 0，系统的总动量保持不变，但系统内的动量可以